Wyznaczyć m,n oraz k,l.

[Math_s]

Witam, proszę o pomoc, podpowiedź w dwóch zadaniach:
1. Wyznacz wartości parametrów \(\displaystyle{ m, \ n}\) wielomianu \(\displaystyle{ W\left( x\right)=2x ^{3}+mx ^{2}-3x+n}\), wiedząc, że suma wszystkich pierwiastków\(\displaystyle{ W\left( x\right)}\)jest równa \(\displaystyle{ 5}\).
2.Wyznacz wartości parametrów \(\displaystyle{ k, \ l}\) wielomianu \(\displaystyle{ W\left( x\right)=x ^{4}-3x ^{3}+x ^{2}+kx+l}\),
wiedząc, że z dzielenia przez wielomian \(\displaystyle{ P\left( x\right)=x ^{2}-2x-2}\) otrzymujemy resztę \(\displaystyle{ 1}\).

[kamil13151]

1) Wzór Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.
2) Standardowe zadanie, pełno tego na forum.

[Math_s]

Nie
1) czyli jak? a jak bez znajomości wzorów ?
2) to zadania z liceum, bez zespolonych.

[kamil13151]

1) Nie widzę innego sposobu niż jeden ze wzorów Viete'a. Wyprowadzenie jest bardzo łatwe, zobacz tutaj:
2) Zmieniłem treść posta przed Twoim wpisem, zerknij tutaj: https://www.matematyka.pl/310711.htm

[Math_s]

W pierwszym zadaniu wyciągnęłam x przed nawias, a potem miałam tylko kwadratową, ale z parametrem, to zrobiłam, że delta albo jest >, albo = ,albo < 0, bo przecież nie wiem ile z tego mam pierwiastków? Napisali, że suma wszystkich, właśnie się zastanawiam, czy to znaczy, że muszą być trzy? W odp jest tylko jeden przypadek.

Co do drugiego, to mam wyznaczyć Q(x), tak? Z tego co napisałeś?

[kamil13151]

W drugim można zrobić tak:

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy przedstawić jako \(\displaystyle{ W(x)=\left( x ^{2}-2x-2\right) \cdot Q(x)+1}\), dalej wyznaczamy pierwiastki trójmianu \(\displaystyle{ x ^{2}-2x-2}\), niech nimi będą \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\). Widać teraz, że możemy stworzyć układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} W(x_1)=1 \\ W(x_2)=1 \end{cases}}\).

\(\displaystyle{ W(x_1)}\) oraz \(\displaystyle{ W(x_2)}\) liczysz z tego: \(\displaystyle{ W\left( x\right)=2x ^{3}+mx ^{2}-3x+n}\). Jednak te zadanie lepiej zrobić inaczej, bo pierwiastki nie są wymierne, podzielić pisemnie i reszta będzie postaci \(\displaystyle{ ax+b}\), wtedy musi zajść \(\displaystyle{ a=0 \wedge b=1}\).

W pierwszym nie możesz tak zrobić... Gdy wyciągniemy zmienną \(\displaystyle{ x}\) będziemy mieli:
\(\displaystyle{ W\left( x\right)=x(2x ^{2}+m ^{2}-3)+n}\), czyli wg. Ciebie \(\displaystyle{ x=0}\) powinien być pierwiastkiem, ale tak będzie tylko dla \(\displaystyle{ n=0}\), a my tego nie wiemy! Tak jak już napisałem, zobacz jak się wyznacza wzory Viete'a.

[anna_]

1. Nie podano czasem ile jest równy iloczyn tych pierwiastków?

Bez wzorów Viete'a wyszło mi \(\displaystyle{ m=-10}\)

[Mariusz M]

Wymnóż postać iloczynową i porównaj z postacią ogólną
Czy aby na pewno \(\displaystyle{ m=-10}\)
a nie \(\displaystyle{ m=-\frac{5}{2}}\)
Zgadzam się jednak z tym że jest zbyt mało danych aby wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ n}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ a,b,c}\) - pierwiastki

\(\displaystyle{ 2(x-a)(x-b)(x-c)=2x ^3+mx ^2-3x+n}\)
\(\displaystyle{ 2x^3 - 2x^2(a + b + c) + 2x(a(b + c) + bc) - 2abc=2x ^3+mx ^2-3x+n}\)

\(\displaystyle{ -2(a+b+c)=m}\)
\(\displaystyle{ m=-10}\)

[kamil13151]

Bez wzorów Viete'a wyszło mi \(\displaystyle{ m=-10}\)

\(\displaystyle{ a,b,c}\) - pierwiastki

\(\displaystyle{ 2(x-a)(x-b)(x-c)=2x ^3+mx ^2-3x+n}\)
\(\displaystyle{ 2x^3 - 2x^2(a + b + c) + 2x(a(b + c) + bc) - 2abc=2x ^3+mx ^2-3x+n}\)

\(\displaystyle{ -2(a+b+c)=m}\)
\(\displaystyle{ m=-10}\)

a jak wygląda dowód wzorów Viete'a ?

[anna_]

Chodziło o to, że nie muszę nawet wiedzieć co to takiego wzory Viete'a, żeby to policzyć.

[Math_s]

Dzięki za pomoc , w odp jest, że n=0.