Reszta z dzielenia

[pierwiatekkwadratowy]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) z dzielenia przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)= x^{2}+x-2}\) daje resztę \(\displaystyle{ x+1}\). Jaką resztę daje wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ x+2}\) ?

Nie byłem wtedy w szkole dlatego prosił bym o napisanie co dlaczego

[loitzl9006]

Jest takie twierdzenie: Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\) jest równa \(\displaystyle{ W(a)}\).

Zatem przy dzieleniu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+2)}\) reszta będzie równa \(\displaystyle{ W(-2)}\). I tego szukamy.

Jeszcze trzeba pamiętać, że reszta z dzielenia jest wielomianem przynajmniej o jeden stopień niższym niż dzielnik. Zatem jeżeli dzielnikiem jest trójmian kwadratowy, to reszta jest postaci \(\displaystyle{ ax+b}\). Jeżeli dzielnikiem jest wielomian liniowy (pierwszego stopnia), to reszta jest wielomianem stopnia zerowego.

W tego typu zadaniach warto przedstawiać dzielnik \(\displaystyle{ P(x)}\) w postaci iloczynowej, także

\(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x-1)}\)

I jeszcze twierdzenie o rozkładzie wielomianu się przyda:

\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x) + R(x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) to wynik dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\), zaś \(\displaystyle{ R(x)}\) to reszta z tego dzielenia.

Na podstawie tego twierdzenia

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-1) \cdot Q(x)+x+1}\)

Szukamy \(\displaystyle{ W(-2)}\), zatem trzeba do powyższego podstawić \(\displaystyle{ x=-2}\) i mamy wynik.

[pierwiatekkwadratowy]

Nie wiem jeszcze tylko co mam podstawić pod \(\displaystyle{ Q(x)}\)

[anna_]

Nic, tego nie wymagają w zadaniu