2 zadania z wielomianami

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Ser Cubus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1406
Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 145 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: Ser Cubus »

tego nie wiem jak zacząć
\(\displaystyle{ (x^4-4x+1)(x^4-4x+2) \le 20}\)

i durgie:
oblicz \(\displaystyle{ f(f(x)) = x}\), gdzie
\(\displaystyle{ f(x) = x^2 - 3x -2}\)

\(\displaystyle{ f(f(x)) = (x^2-3x-2)^2 - 3(x^2-3x-2) - 2 = x}\)
i nie wiem co dalej, bo to pewnie da się zrobić bez wymnażania?

z góry dzieki za pomoc
Ostatnio zmieniony 27 paź 2012, o 13:47 przez Ser Cubus, łącznie zmieniany 1 raz.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: norwimaj »

1. Podstaw za \(\displaystyle{ x^2-4x+1}\).

2. Może gdyby tam było \(\displaystyle{ f(x)=x^2-3x+2}\), toby było łatwiej, ale tak jak jest to nie wiem.
Ser Cubus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1406
Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 145 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: Ser Cubus »

w pierwszym przykładzie jest \(\displaystyle{ x^4}\), chyba źle spojrzałeś?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: norwimaj »

Źle napisałem, ale chyba domyślasz się, jak powinienem napisać?
Ukryta treść:    
Ser Cubus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1406
Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 145 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: Ser Cubus »

próbowałem, wychodzi:
\(\displaystyle{ x^4-4x+1=-5 \vee x^4-4x+1=4}\)

dla 4
\(\displaystyle{ x^4-x-3x-3=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^3-1)-3(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x(x-1)(x^2-x+1)-3(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)[...] = 0}\)

a jak dla -5?
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: 777Lolek »

1. Zauważ, że

\(\displaystyle{ (x^4-4x+1)(x^4-4x+2) = x^4(x^4 - 4x + 1) - 4x(x^4 - 4x + 1) + 2(x^4 - 4x + 1) = x^4(x^4 - 4x + 1) - 4x(x^4 - 4x + 1) + 1(x^4 - 4x + 1) + 1(x^4 - 4x + 1) = (x^4 - 4x + 1)(x^4 - 4x + 1) + (x^4 - 4x + 1) = (x^4 - 4x + 1)^2 + (x^4 - 4x + 1)}\)

niech \(\displaystyle{ x^4 - 4x + 1 = t}\)

\(\displaystyle{ t^2 + t\le 20}\)


Pamiętaj, że tam jest nierówność.
Ser Cubus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1406
Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 145 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: Ser Cubus »

wiem, zrobiłem tak, wychodzi \(\displaystyle{ t=4 \vee t=-5}\)
dla\(\displaystyle{ t = 4 o}\)pisałem równania w poście wyżej, wystarczyło wyłączyć\(\displaystyle{ (x-1)}\)przed nawias i dalej z górki

a jak rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ t = x^4-4x+1=-5}\)
\(\displaystyle{ x^4-4x+6=0}\)
co dalej?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: norwimaj »

Ser Cubus pisze: \(\displaystyle{ x^4-x-3x-3=0}\)
\(\displaystyle{ x(x^3-1)-3(x-1)=0}\)
Masz błąd w tym przejściu. Można wyłączyć \(\displaystyle{ x+1}\). Dla \(\displaystyle{ -5}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych, dokładniej \(\displaystyle{ x^4-4x+1>-5}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).
Ser Cubus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1406
Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 145 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: Ser Cubus »

\(\displaystyle{ x^4}\) jest zawsze dodatnie, ale \(\displaystyle{ 4x}\) niekoniecznie
wiem, że jak podstawimy byle co, to zawsze to będzie prawda, ale jak to udowodnić?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: norwimaj »

\(\displaystyle{ x^4-4x+3\ge0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\), co bez pochodnych można uzasadniać w ten sposób:

\(\displaystyle{ x^4-4x+3=(x-1)(x^3+x^2+x-3)=(x-1)^2(x^2+2x+3)=\\(x-1)^2((x+1)^2+2)\ge0.}\)
Ser Cubus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1406
Rejestracja: 6 maja 2012, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 107 razy
Pomógł: 145 razy

2 zadania z wielomianami

Post autor: Ser Cubus »

ok, dziękuje za pomoc
ODPOWIEDZ