pierwiastki wielomianu, dzielenie wielomianu

[Olek619]

Mam takie 3 zadania z wielomianów, prosiłbym o jakieś wskazówki...

1. Wielomian \(\displaystyle{ f(x)= x^{3}-px^{2} - \frac{1}{2}}\) ma pierwiastek dwukrotny. Wyznacz wartość parametru p.
To zadanie wydaje się proste, wystarczy rozłożyć, jednak nie mogę tego p wyliczyć...

2. Wielomian \(\displaystyle{ f(x)= x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a_{1} i a_{2}}\) to ustalone liczby rzeczywiste, ma trzy pierwiastki. Suma dwóch pierwiastków tego wielomianu jest równa zero. Wyznacz wartość współczynnika \(\displaystyle{ a_{0}}\)
Za to nie wiem jak się zabrać, będzie pierwiastek dwukrotny chyba, tyle wiem...

3. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-x-6}\), wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian \(\displaystyle{ x+2}\) jest równa 2 i reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) też jest równa 2.

Tutaj zobaczyłem, że iloczyn tych dwumianów jest równy temu wielomianowi przez który dzielimy, ale nie wiem jak to się ma do reszty

[macik1423]

1) \(\displaystyle{ f(x)=(x- x_{1})^{2}(x- x_{2})}\) podnieś do potęgi i wymnóż nawiasy, później porównaj współczynniki, dostaniesz układ 3 równań z 3 niewiadomymi.-- 26 paź 2012, o 15:56 --2) podobnie jak 1)
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=-x_{2}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x+x_{2})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x^{2}-x_{2}^{2})(x-x_{3})}\)
Wymnażając mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{3}-x^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x+x_{2}^{2}x_{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2}=-x_{3} \\ a_{1}=-x_{2}^{2} \\a_{0}=x_{2}^{2}x_{3} \Rightarrow -a_{1} \cdot (-a_{2})=a_{1} \cdot a_{2} \end{cases}}\)

[anna_]

3.

\(\displaystyle{ W(x) = Q(x)(x^{2}-x-6)+R(x)=Q(x)(x-3)(x+2) + ax + b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-2)= 2\\ W(3)=2 \end{cases}}\)

[Olek619]

Tego pierwszego dalej nie mogę zrobić. Po wymnożeniu wszystkiego wychodzi długi wielomian i nie mam jak tego porównać...

[mmoonniiaa]

Pokaż jaka jest jego postać po wymnożeniu, pomożemy go uporządkować.

[Olek619]

\(\displaystyle{ x^{3}- x^{2}x_{2} -2x^{2}x_{1} +2xx_{1}x_{2}+xx^{2}_{1}-x^{2}_{1}x_{2}}\)

[mmoonniiaa]

Dobrze. W takim razie uporządkuj teraz zapisując ten wielomian do postaci: \(\displaystyle{ \red x^3 \black +a \blue x^2 \black +b \magenta x \black +c}\)

Dla ułatwienia kolorki:
\(\displaystyle{ \red x^{3} \black - \blue x^{2} \black x_{2} -2 \blue x^{2} \black x_{1} +2 \magenta x \black x_{1}x_{2}+ \magenta x \black x^{2}_{1}- x^{2}_{1}x_{2}}\)

Wszystko co na czarno to współczynniki.

[Olek619]

No i jak mogę te współczynniki porównać do wielomianu, jak otrzymam układ 3 równań?

[mmoonniiaa]

Trzeba najpierw zapisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ \red x^{3} \black -\left( x_{2}+2x_{1}\right) \blue x^{2} \black +\left( 2 \black x_{1}x_{2}+ \black x^{2}_{1}\right) \magenta x \black - x^{2}_{1}x_{2}}\)

Teraz już widzisz, co przyrównać?