Wieomian W(x) z dzielenia...

[Sorin]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) z dzielenia przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}+x-2}\) daje resztę \(\displaystyle{ x+1}\).
Jaką resztę daje wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ x+2}\)?

[mmoonniiaa]

Można więc zapisać, że:
\(\displaystyle{ \frac{W\left( x\right) }{x^2+x-2} =Q\left( x\right) + \frac{x+1}{x^2+x-2}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ W\left( x\right) =\left( x^2+x-2\right)Q\left( x\right)+x+1=\left( x+2\right)\left( x-1\right) Q\left( x\right)+x+1}\)

W związku z powyższym: \(\displaystyle{ \red W\left( -2\right) \black =-2+1=-1}\)

Mamy obliczyć resztę \(\displaystyle{ R}\), z takiego dzielenia:
\(\displaystyle{ \frac{W\left( x\right) }{x+2} =S\left( x\right) + \frac{R}{x+2}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ W\left( x\right) =\left( x+2\right)S\left( x\right)+R}\)

stąd mamy:
\(\displaystyle{ \red W\left( -2\right) \black = R \Leftrightarrow R=-1}\)

[Sorin]

Rozumiem.
Dziękuje.

-- 27 paź 2012, o 12:41 --

Jeszcze jedno. Proszę tylko o sposób działania, bo mam pewne podejrzenia.
Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-m)(x+4)}\) ma pierwiastek dwukrotny.

[777Lolek]

Na pewno \(\displaystyle{ m\ge 0}\) , bo gdyby było mniejsze, to mielibyśmy \(\displaystyle{ x^2 - m > 0}\) w całym zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\) , a wtedy mielibyśmy tylko jeden pierwiastek - \(\displaystyle{ -4}\) .

Zatem ten wielomian można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x) = (x+\sqrt{m})(x-\sqrt{m})(x+4)}\)

więc:


\(\displaystyle{ m \ge 0 \ \wedge \ \ \ \left( \ \begin{cases} \sqrt{m} = -\sqrt{m} = 0 \Rightarrow m=0\\ W(x) = x^2(x+4) \end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} \sqrt{m}=4 \Rightarrow m=16\\ W(x) = (x-4)(x+4)^2\end{cases}\right)}\)