Miejsca zerowe wielomianu, kiedy funkcja jest większa od 0?

[Looker]

\(\displaystyle{ f(x)=4x^{3}-24x^{2}-4x+24}\)

\(\displaystyle{ f(x)=4x^{3}-24x^{2}+44x-24}\)

Mam problem ze znalezieniem w tych dwóch funkcjach miejsc zerowych i określenia kiedy są większe od zera. Próbowałem zrobić to w ten sposób (pokażę na przykładzie pierwszej funkcji).

\(\displaystyle{ f(x)=4x(x^{2}-6x-1)+24}\)

Można to tak rozłożyć czy należy to zrobić w jakiś inny sposób? Jest może jakiś schemat postępowania w wielomianach stopnia większego niż 2/3?

[agulka1987]

\(\displaystyle{ f(x)=4x^{3}-24x^{2}-4x+24}\)

\(\displaystyle{ 4x(x^2-1) -24(x^2-1)=0\\
(4x-24)(x^2-1)=0\\
(4x-24)(x-1)(x+1)=0\\
4x-24=0 \vee x-1 =0 \vee x+1=0\\
x=6 \vee x=1 \vee x=-1}\)

\(\displaystyle{ f(x)>0 \Rightarrow x \in (-1,1) \cup (6,+ \infty )}\)

[Looker]

Zrobiłem analogicznie drugie

\(\displaystyle{ f(x)=4x^{3}-24x^{2}+44x-24 \\ f(x)=4x(x^{2}+11)-24(x^{2}+1) \\ f(x)(4x-24)(x^{2}+11)(x^{2}+1)}\)

niestety miejsca zerowe w książce są inne.. Nie rozumiem co zrobiłem źle.

[mmoonniiaa]

Otrzymując taką postać: \(\displaystyle{ f(x)=4x(x^{2}+11)-24(x^{2}+1)}\) nic dalej z tym zrobić nie możesz - nie ma wspólnego czynnika.

Zrób w ten sposób: najpierw wyłącz \(\displaystyle{ 4}\) przed nawias, a następnie sprawdź, czy któryś z dzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem wielomianu. Można też odpowiednio poustawiać wyrazy, aby zastosować metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. Którą opcję wybierasz?

[Looker]

wyłączyłem czwórkę i otrzymałem:

\(\displaystyle{ 4(x^{3}-6x^{2}+11x-6)}\)

i wyszło że 3 dzielniki szóstki są pierwiastkami wielomianu (1,2,3). Nie bardzo rozumiem te drugą część zdania z ustawieniem wyrazów i wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias, wydaje mi się że właśnie to zrobiłem w poście wyżej.

[agulka1987]

Niestety 2 nie można robić analogicznie do 1


\(\displaystyle{ 4x^3-24x^2+44x-24=0\\
(x-1)(4x^2-20x+24)=0\\
(x-1) \cdot 4(x-2)(x-3)=0\\
x-1=0 \vee x-2=0 \vee x-3=0\\
x=1 \vee x=2 \vee x=3}\)

\(\displaystyle{ f(x)>0 \Rightarrow x \in (1,2) \cup (3, + \infty )}\)

[mmoonniiaa]

Nie bardzo rozumiem te drugą część zdania z ustawieniem wyrazów i wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias, wydaje mi się że właśnie to zrobiłem w poście wyżej.

Chodzi mi o taki trik:
\(\displaystyle{ 4\left( x^{3}-6x^{2}+11x-6\right) =4\left( x^{3}-x^2-5x^{2}+5x+6x-6\right) =4\left[ x^2\left( x-1\right) -5x\left( x-1\right) +6\left( x-1\right) \right] =...}\)
Teraz wspólnym czynnikiem jest \(\displaystyle{ x-1}\) i możemy dalej zapisać, że:
\(\displaystyle{ ...=4\left( x-1\right)\left(x^2-5x+6 \right)=4\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x-3\right)}\)

Natomiast gdy miałeś postać: \(\displaystyle{ 4x(x^{2}+11)-24(x^{2}+1)}\) to nie ma tu wspólnego czynnika. \(\displaystyle{ x^2+11}\) występuje raz, \(\displaystyle{ x^2+1}\) też wystepuje tylko raz, zgadza się?

Oczywiście sposób ze sprawdzaniem dzielników wyrazu wolnego jest także prawidłowy i jak widać skuteczny.

[Looker]

Dziękuję bardzo. Mam problem jeszcze z ostatnim przykładem:

\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)^{2}+2x(x-1)}\)

wiem, że jeden z pierwiastków to 1, ale za chiny nie mogę zrozumieć jak przekształcić te funkcje, żeby znaleźć drugie miejsce zerowe (1/3 według odpowiedzi w książce).

Czym sugerować się szukając miejsc zerowych w takiej funkcji?

[anna_]

Na początek wyłącz \(\displaystyle{ (x-1)}\) przed nawias

[Looker]

\(\displaystyle{ (x-1)[(x-1)+2x]}\)

pewnie teraz cos z tym 2x pokombinować?

[anna_]

To z nawiasu kwadratowego policz