równanie 3 stopnia

[Tinia]

Siedze i myśle nad tym równaniem i ni jak nie moge go pogrupować,
Po 4 godzinach niestety muszę poprosic o pomoc lub wskazówki:

\(\displaystyle{ x^{3} + 200x^{2}+12546x - 565894=0}\)

[Kartezjusz]

Rozłóż na czynniki pierwsze tę kobyłę na samym końcu.

[Tinia]

próbowałam wyciagać raz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i powstało równanie kwadratowe w nawiasie...
\(\displaystyle{ x(x^{2} + 200x+12546) - 565894=0}\)
ale to nic mi nie dało. Drugi raz wzięłam \(\displaystyle{ x^{2}}\) poza nawias i miałam wtedy
\(\displaystyle{ x^{2}(1 + 200x)+12546x - 565894=0}\), ale to też nic nie daje ;/

[Premislav]

Na takie brzydkie, czasochłonne rachunki, jak sprawdzanie dzielników mutantów w stylu tego wyrazu wolnego najlepszym remedium jest WolframAlpha. Skoro aż tyle nad tym siedziałaś, wrzuć tam całe wyrażenie i po męce.

[Tinia]

heh, niestety musze przedstawić sposób rozwiązania:P żadne programy, które mi podadzą gotowy wynik nie wchodzą w gre. Wiem( z programu do przeliczania), ze wyszło 4,22, ale jakim cudem to już gorzej:P

[Kartezjusz]

Wyszły jakieś wymierne liczby?

[Mariusz M]

Pamiętasz uzupełnianie do kwadratu używane przy rozwiązywaniu równań kwadratowych
Tutaj można skorzystać z podobnego pomysłu tyle że uzupełniamy do sześcianu

\(\displaystyle{ x^{3} + 200x^{2}+12546x - 565894=0\\
x=y-\frac{200}{3}\\
\left(y-\frac{200}{3} \right)^3+200\left( y-\frac{200}{3}\right)^2+12546\left( y-\frac{200}{3}\right)-565894\\
y^3-200y^2+\frac{40000}{3}y-\frac{8000000}{27}+200\left( y^2-\frac{400}{3}y+\frac{40000}{9}\right)+12546\left( y-\frac{200}{3}\right)-565894\\
y^3-\frac{2362}{3}y-\frac{21861938}{27}=0\\
y^3=\frac{2362}{3}y+\frac{21861938}{27}\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3+\frac{2362}{3}y+\frac{21861938}{27}\\
\left(y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2+\frac{2362}{3}\right)+z^3+\frac{21861938}{27}\\
3yz+3z^2+\frac{2362}{3}=0\\
3yz+3z^2=-\frac{2362}{3}\\
3z\left( y+z\right)=-\frac{2362}{3}\\
y+z=-\frac{2362}{9z}\\
\left(-\frac{2362}{9z} \right)^3=z^3+\frac{21861938}{27}\\
z^6+\frac{21861938}{27}z^3+\frac{13177701928}{729}=0\\
\left( z^3+\frac{10930969}{27}\right)^2-\frac{119486083278961}{729}+\frac{13177701928}{729}=0\\
\left( z^3+\frac{10930969}{27}\right)^2-\frac{119472905577033}{729}\\
\left( z^3+\frac{10930969-\sqrt{119472905577033}}{27}\right)\left( z^3+\frac{10930969+\sqrt{119472905577033}}{27}\right)=0\\
\varepsilon_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3}\right) }\\
\varepsilon_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3}\right) }\\
z= -\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{10930969+\sqrt{119472905577033}} \\
x_{1}=-z-\frac{2362}{9z}-\frac{200}{3}\\
x_{2}=-\varepsilon_{1}z-\frac{2362}{9\varepsilon_{1}z}-\frac{200}{3}\\
x_{3}=-\varepsilon_{2}z-\frac{2362}{9\varepsilon_{2}z}-\frac{200}{3}\\}\)

Uzupełnienie do kwadratu bądź sześcianu to dość prosta metoda i działa prawie
dla każdego równania drugiego , trzeciego i czwartego stopnia
W równaniu trzeciego stopnia oddzielnie należy rozpatrzyć przypadek gdy obydwa
pierwiastki równania rozwiązującego (tutaj równanie kwadratowe na \(\displaystyle{ z^3}\)) są zerowe
W równaniu czwartego stopnia oddzielnie należy rozpatrzyć przypadek równania dwukwadratowego

[Tinia]

dziękuję,
Probowałam zrozumieć te metodę, ale zastanawia mnie tu tylko jedno. Skąd wziete je
\(\displaystyle{ x=y- \frac{200}{3}}\) Ta '3' wynika z tego, ze jest to równanie 3 stopnia?
Bo reszta wydaje mi sie juz logiczna.

[Mariusz M]

Tinia, ta metoda działa gdy wyrugujesz wyraz \(\displaystyle{ 200x^2}\)
i podstawienie które przytoczyłaś ten wyraz ruguje
(popatrz sobie na wzory skróconego mnożenia a będziesz wiedziała dlaczego)

Jak w równaniu ogólnym trzeciego stopnia zastosujesz liniowe podstawienie i
rozwiniesz wzór skróconiego mnożenia to będziesz miała

\(\displaystyle{ a_{3}\left( x+u\right)^3+a_{2}\left( x+u\right)^2\\
a_{3}x^3+3a_{3}ux^2+3a_{3}u^2x+u^3+a_{2}x^2+2a_{2}ux+a_{2}u^2\\}\)

stąd masz

\(\displaystyle{ 3a_{3}ux^2+a_{2}x^2=0\\
3a_{3}u+a_{2}=0\\
u=-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\}\)

[Tinia]

ok. Już rozumiem. Dzięki:)

-- 25 października 2012, 00:09 --

Czy takie równanie da się obliczyć tym samym sposobem? Przyznam, że powyższe rozwiazanie ma taki 'multum' niewiadomy jet x, jest y i potem z. Że pogubiłam się już:). Sprobowałam podobne równanie rozwiązać innym sposobem,ale niestety zacięłam się
\(\displaystyle{ x^{3} + 311,55x^{2}+15743,53x -445712,64=0}\)
Wiem, że x ma wyjść 19,94( jedyna dodatnia wartość z 3 i ona mnie interesuje). No ale jak do tego dojść...
obliczyłam ze wzorów Cardano i delta wyszła mi ujemna. Ok to znaczy, ze mam 3 pierwiastki.
\(\displaystyle{ x=y- \frac{b}{3} =y- \frac{311,55}{3}}\)
i po przekształceniach otrzymałam:
\(\displaystyle{ y^{3}-16610,94y+159330,43}\)
\(\displaystyle{ delta= \left( \frac{p}{3}\right)^{3}+ \left( \frac{q}{2}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ delta=-1,63 \cdot 10^{11}}\)
no i na tym by się skończyły moje obliczenia. Probowałam z liczbami zespolonymi dalej to pociagnąc ale mi nie wyszło....
Na studiach wolę już sama dochodzić do rozwiązań, ale niestety równania 3 stopnia, nie w takiej formie jak to było za czasów szkolnych mnie zabiły;D.

[Mariusz M]

Skoro delta wyszła ujemna to licząc sposobem pokazanym przeze mnie
(dopełnienie do sześcianu) musiałabyś wejść w zespolone (wzór de Moivre i te sprawy)
Jeżeli nie chcesz się bawić zespolonymi to zastosuj podstawienie trygonometryczne
\(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{\theta}}\)
jako że postać równania przypomina wzór na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus) kąta potrojonego

Sposób który przedstawiłem nie zadziała gdy równanie kwadratowe które otrzymałem
ma obydwa pierwiastki zerowe , ale wtedy wyjściowe równanie trzeciego stopnia jest pełnym sześcianem