Pierwiastki zespolone

dakwh · Post autor: **dakwh** » 21 paź 2012, o 14:09

W jaki sposob wyznaczyc wielomian o wspolczynnikach rzeczywistych posiadajacych pierwiastki zespolone podwojny \(\displaystyle{ i}\) i pojedynczy \(\displaystyle{ -1-i}\) ?

Phobos71 · Post autor: **Phobos71** » 21 paź 2012, o 14:48

\(\displaystyle{ W\left( x\right) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d \\
\begin{cases} W\left( i\right)=0 \\ W\left( i ^{2} \right) =0 \\ W\left( -1-i\right)=0 \end{cases}}\)

dakwh · Post autor: **dakwh** » 21 paź 2012, o 18:01

z rozpisania tego nic sensownego nie wychodzi

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2012, o 18:03

Podwójny \(\displaystyle{ i}\) jak wygenerować? jak uważasz?

dakwh · Post autor: **dakwh** » 21 paź 2012, o 18:19

\(\displaystyle{ -1}\) ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2012, o 18:23

eee jaki oczywisty wielomian ma taki pojedynczy pierwiastek?

dakwh · Post autor: **dakwh** » 21 paź 2012, o 18:31

\(\displaystyle{ (x+1)}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2012, o 18:46

dla \(\displaystyle{ i}\) ??

dakwh · Post autor: **dakwh** » 21 paź 2012, o 18:53

\(\displaystyle{ (x - i^2)}\) a jezeli ci chodzi dla argumentu \(\displaystyle{ i}\) to nie mam pojecia

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 21 paź 2012, o 19:10

Jak pierwiastki dostajemy? Np skorzystaj ze wzoru na pierwiastki z układu równań

dakwh · Post autor: **dakwh** » 21 paź 2012, o 19:21

no wlasnie \(\displaystyle{ -1}\) ? wiec ile wyniesie w koncu ten wielomian \(\displaystyle{ p \cdot (x+1+i)(x+1-i)}\) tzn jakie bedzie to p

-- 22 paź 2012, o 11:10 --

\(\displaystyle{ (x-i)(x^2-1)(x+1+i)(x+1-i)}\) czy to jest prawidlowe rozwiazanie? czy da sie to zapisac w wielomianie nizszego stopnia?

-- 22 paź 2012, o 19:56 --

Z definicji wynika, ze \(\displaystyle{ z}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem jeżeli \(\displaystyle{ \mbox{z sprzężone}}\) tez jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem ale po podstawieniu \(\displaystyle{ (x-i)^2(x+i)^2(x+1+i)(x+1-i) i^2}\) nie jest pierwiastkiem

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 24 paź 2012, o 03:43

Z tego że wielomian ma współczynniki rzeczywiste wynika że skoro masz zespolony pierwiastek
to sprzężenie tego pierwiastka jest też pierwiastkiem

W swojej ostatniej wiadomości podałeś poprawny wielomian
(Phobos próbował wprowadzić cię w błąd a miodzio jak zwykle zaspamował temat)

\(\displaystyle{ W\left( x\right)=\left( x+1+i\right)\left( x+1-i\right) \left( x-i\right)^2\left( x+i\right)^2}\)

bb314 · Post autor: **bb314** » 24 paź 2012, o 15:48

dakwh pisze:Z definicji wynika, ze \(\displaystyle{ z}\) jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem jeżeli \(\displaystyle{ \mbox{z sprzężone}}\) tez jest \(\displaystyle{ k}\)-krotnym pierwiastkiem ale po podstawieniu \(\displaystyle{ (x-i)^2(x+i)^2(x+1+i)(x+1-i)\ \ i^2}\) nie jest pierwiastkiem

I wszystko w porzo. Bo pierwiastkiem nie ma być \(\displaystyle{ i}\) podniesione do drugiej potęgi, tylko \(\displaystyle{ i}\) ma być pierwiastkiem podwójnym (dwukrotnym).