Równanie wielomianowe, mały problem.

[solozzo933]

Witam. Zadanie brzmi: Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-3x-2}\) Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ f(f(x))=x}\) Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. A problem jest taki, że w zwykły sposób wstawiłem to co trzeba, policzyłem \(\displaystyle{ f(f(x))=x}\), pogrupowałem etc i wyszło mi równanie wielomianowe \(\displaystyle{ x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}+20x+8}\). I tu pojawia się kłopot, bo zupełnie nie mam pomysłu jak to rozbić, policzyć. Wstawiłem dla sprawdzenia równanie na wolfram i wyniki się zgadzają, ale nie wiem jak to zapisać w postaci iloczynowej / zrobić zadanie w inny sposób. Jakieś pomysły? Z góry dzięki!

[kamil13151]

Oczywiście można skorzystać z \(\displaystyle{ (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\), czyli wymnożyć i porównać współczynniki, ale to jest metoda żmudna.

Lepiej skorzystać z metody Ferrariego.

\(\displaystyle{ x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}+20x+8=0 \\
(x^2-3x)^2=7x^2-20x-8 \\ (x^2-3x+y)^2=7x^2-20x-8+2x^2y-6xy+y^2 \\ (x^2-3x+y)^2=x^2(7+2y)-x(20+6y)+y^2-8}\)

Teraz prawą stronę chcemy dopełnić do kwadratu, zatem: \(\displaystyle{ (20+6y)^2-4(7+2y)(y^2-8)=0 \ \Rightarrow \ y=-3}\)

\(\displaystyle{ (x^2-3x-3)^2=x^2-2x+1 \\ (x^2-3x-3)^2-(x-1)^2=0 \\ (x^2-4x-2)(x^2-2x-4)=0}\)

[Mariusz M]

Oczywiście można skorzystać z \(\displaystyle{ (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\), czyli wymnożyć i porównać współczynniki, ale to jest metoda żmudna.

Będzie mniej obliczeń jeśli wyrugujemy wyraz \(\displaystyle{ x^3}\)
Po wymnożeniu i porównaniu współczynników dostaniemy układ który łatwiej rozwiązać
Wyrugować wyraz możemy albo podstawieniem \(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{3}}{4a_{4}}}\)
albo przedstawić wielomian jako sumę potęg dwumianu \(\displaystyle{ \left( x+ \frac{a_{3}}{4a_{4}} \right)}\) np schematem Hornera korzystając ze wzoru Taylora

Gdybyśmy od razu mnożyli i porównywali te wielomiany to otrzymalibyśmy układ równań
którego rozwiązanie wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia jednak podstawienie sprowadzające trudniej zauważyć
dlatego tym którzy się uprą rozkładać w ten sposób proponuję najpierw
wyzerować współczynnik przy \(\displaystyle{ x^3}\)

Dlaczego wprowadziłeś nową zmienną , skąd się wzięło to równanie

Zdaje się że Vax lepiej tłumaczy

Vax tutaj opisuje tę metodę na swoim przykładzie

227371.htm