Dzielenie wielomianów

[Stasze4]

1. Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) trójmian \(\displaystyle{ x ^{2} - x +a}\) jest dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=4x^{3} - 5x^{2}+bx-8}\)?

Znalazłem ten link: https://www.matematyka.pl/118371.htm
Ale nie rozumiem kompletnie sposobu w jaki jest wyliczone na końcu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

2. Dla jakich \(\displaystyle{ m}\) dzielnikiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = 2x ^{4} - 5x ^{3} - 10x ^{2} + mx - 4}\) jest trójmian \(\displaystyle{ P(x) = 2x ^{2} + x + 1}\)?

Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) nie ma miejsc zerowych, więc totalnie nie wiem co tutaj zrobić

3. Sprawdź, czy wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P}\), jeżeli \(\displaystyle{ W(x)=x^{2006} - 7x + 6}\), \(\displaystyle{ P(x)=x^{2}-1}\)

Według mnie odpowiedź powinna być tak, bo:

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)P(x)+R(x) \\
\left[ W(1)=0 \wedge P(1)=0\right] \Rightarrow R=0}\)
ale ku zaskoczeniu znalazłem odpowiedź nie.

W czym tkwi błąd?

Proszę o pomoc

[kamil13151]

1) Zauważ, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ma zachodzić: \(\displaystyle{ bx-4ax+a-x+2=0 \iff x(b-4a-1)+a+2=0}\), zatem musi zajść: \(\displaystyle{ \begin{cases} b-4a-1=0 \\ a+2=0 \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ 2x ^{4} - 5x ^{3} - 10x ^{2} + mx - 4= \left( 2x ^{2} + x + 1 \right) \left( x^2+bx-4 \right)}\) Wymnóż i porównaj współczynniki.

3) Tutaj należy skorzystać z twierdzenia Bezout'a. Zatem \(\displaystyle{ W(1)=0}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)=14}\), także nie jest podzielny.

[Stasze4]

Świetnie, dzięki