Wielomian o dwóch pierwiastkach

Drevis · Post autor: **Drevis** » 19 paź 2012, o 17:23

Witam,
mam za zadanie wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla którego wielomian ma dokładnie dwa pierwiastki.

\(\displaystyle{ w\left( x\right)=\left( x ^{2}+x-20 \right)\left( x-m ^{2}-6m \right)}\)

Proszę o dość dokładne wytłumaczenie bo już widziałem rozwiązanie zadnia, tylko nie wiem skąd się co wzięło.

Pozdrawiam

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 paź 2012, o 17:26

Zacznijmy po kolei.

Jaki jest znak wyróżnika (delty) wyrażenia w pierwszym nawiasie ?
I co mówi nam to o ilości pierwiastków ?

Drevis · Post autor: **Drevis** » 19 paź 2012, o 17:41

No jest tych pierwiastków w pierwszym nawiasie dwa. Ale to się będzie potem mnożyło z drugim nawiasem. Co się wtedy stanie z tymi pierwiastkami?

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 paź 2012, o 17:49

Ale co chcesz mnożyć ?

W pierwszym nawiasie masz dokładnie dwa różne pierwiastki. Zatem nasz wielomian miał dokładnie dwa pierwiastki, z drugiego nawiasu nie możemy dostać kolejnego, lub ten, który dostaniemy musi być jednym z tych, które już mamy.

Drevis · Post autor: **Drevis** » 19 paź 2012, o 18:30

Nie rozumiem tego. A dlaczego tego się nie mnoży przez siebie tylko zostawia tak w nawiasach? Skąd wiadomo, że wynik będzie poprawny. Chyba nawet podstaw nie znam :/.
No dobra, i powiedzmy że przyrównujemy drugi nawias do -5. Wtedy dostajemy równanie

\(\displaystyle{ x-m ^{2} -6m=-5}\)

I co z tym teraz można zrobić?

Post autor: **Ponewor** » 19 paź 2012, o 18:36

Bo jak jeden czynnik (nawias) jest równy zero, to cały iloczyn jest równy zero. Więc nie ma potrzeby wymnażania.

Drevis · Post autor: **Drevis** » 19 paź 2012, o 18:42

No czyli licząc deltę zakładamy że jest on równy zero.

\(\displaystyle{ \left( -5\right) ^{2}-5-20=0}\)

Czyli w(x)=0. To po co się chwytać drugiego nawiasu?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 paź 2012, o 18:54

To po co się chwytać drugiego nawiasu?

Bez rozważenia drugiego nawiasu wiesz tylko, że są co najmniej dwa pierwiastki, a mają być dokładnie dwa, czyż nie?

Drevis · Post autor: **Drevis** » 19 paź 2012, o 18:56

No ale ja tego nie rozumiem. Skąd wiadomo, że akurat rozwiązania tych dwóch nawiasów będą pierwiastkami?

Ponewor pisze:Bo jak jeden czynnik (nawias) jest równy zero, to cały iloczyn jest równy zero. Więc nie ma potrzeby wymnażania.

Premislav pisze:Bez rozważenia drugiego nawiasu wiesz tylko, że są co najmniej dwa pierwiastki, a mają być dokładnie dwa, czyż nie?

To też mi brzmi sprzecznie.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 19 paź 2012, o 19:11

Czy wiesz, czym jest pierwiastek wielomianu? Jeśli nie, zajrzyj do podręcznika/Kompendium.
I nie wiem, dlaczego coś brzmi dla Ciebie sprzecznie. Z pierwszego czynnika (nawiasu), wychodzą Ci 2 pierwiastki, zatem eliminujesz możliwość wystąpienia innych pierwiastków, co zresztą napisał już ares41. Nie musisz nic wymnażać, bo z tej postaci uzyskasz takie same możliwości pierwiastków, to jest wielomian zwinięty do takiej wygodnej postaci, jeśli wymnożysz, to przecież otrzymasz to samo wyrażenie, tylko inaczej zapisane.