wyznacz a i b

[niuni3k]

Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) tak aby wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + ax^2+bx-5}\) był podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x^2+x+1}\)

[bb314]

Musi zachodzić równość
\(\displaystyle{ x^3 + ax^2+bx-5\equiv( x^2+x+1)(x-5)}\)

wymnóż prawą stronę i porównaj współczynniki przy \(\displaystyle{ x^2\ \ i\ \ x}\)

[niuni3k]

Nie za bardzo rozumiem skąd \(\displaystyle{ x-5}\) po prawej stronie.

A i mam jeszcze pytanie, jeśli muszę wykonać dzielenie a w dzielnej mam parametr to mogę skorzystać ze schematu Hornera, będzie łatwiej?

[loitzl9006]

Zauważ, że współczynnik przy \(\displaystyle{ x^3}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\). A wyraz wolny równa się \(\displaystyle{ -5}\).
\(\displaystyle{ W(x)}\), podzielony przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) daje jakiś wielomian liniowy \(\displaystyle{ Q(x).}\) Zatem \(\displaystyle{ W(x)}\) jest iloczynem wielomianów : \(\displaystyle{ Q(x)=mx+n}\) i \(\displaystyle{ x^2+x+1}\). Współczynnik przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ W(x)}\) jest równy iloczynowi współczynników przy najwyższych potęgach dwóch pozostałych wielomianów. Zatem

\(\displaystyle{ 1=1 \cdot m \Rightarrow m=1}\)

Wyraz wolny \(\displaystyle{ W(x)}\) jest równy iloczynowi wyrazów wolnych dwóch pozostałych wielomianów. Zatem

\(\displaystyle{ -5=1 \cdot n \Rightarrow n=-5}\)

Czyli \(\displaystyle{ Q(x)=x-5}\)

A i mam jeszcze pytanie, jeśli muszę wykonać dzielenie a w dzielnej mam parametr to mogę skorzystać ze schematu Hornera, będzie łatwiej?

Jeżeli ta dzielna jest wielomianem pierwszego stopnia, np. \(\displaystyle{ (x-m)}\) albo \(\displaystyle{ (x-m^2+3m+1)}\), to tak, Hornerem jest łatwiej. Jak wyższego stopnia, np. \(\displaystyle{ (x^2+2mx-m)}\) - to dziel pisemnie.