Wykaż, że jeśli wielomian 3 stopnia ma trzy pierwiastki, to:

[amadeuszi]

Wykaż, że jeśli równanie \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, to:
\(\displaystyle{ b^{2} \ge ac}\)

Moje rozwiązanie(nie wiem czy dobrze)
Korzystam z wzorów Viete'a,
\(\displaystyle{ x_{i}}\)to kolejne pierwiastki tego wielomianu
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=- \frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3)]=b^{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3} +x_{2} x_{3}=\frac{c}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3} +x_{2} x_{3})=ac}\)

i tu już widać, że
\(\displaystyle{ a^{2}[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3)] \ge a^{2}(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3} +x_{2} x_{3})}\)

\(\displaystyle{ a^{2}[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3)] \ge 0}\)

[octahedron]

Wydaje się dobrze.

[Marcinek665]

Jest dobrze.