Wielomian czwartego stopnia

[Drevis]

Witam,
jak rozwiązać wielomian

\(\displaystyle{ 4x ^{4} +4x ^{3}+3x ^{2} -x-1 \le 0}\)

?

Rozpisałem

\(\displaystyle{ w \left( 1 \right)}\)

\(\displaystyle{ w \left( -1 \right)}\)

\(\displaystyle{ w \left( \frac{1}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ w \left( - \frac{1}{4} \right)}\)

ale zera nigdzie nie otrzymałem.

[szw1710]

Brak Ci jeszcze \(\displaystyle{ \pm\frac{1}{2}.}\)

[mmoonniiaa]

Lub też skorzystaj z takiej wskazówki: \(\displaystyle{ 4x ^{4} +4x ^{3}+3x ^{2} -x-1=4x ^{4} +4x ^{3}+4x ^{2}-x^{2} -x-1}\)

[Drevis]

szw1710, a skąd to się bierze?
Zawsze myślałem że jako dzielną bierze się dzielniki wyrazu wolnego a jako dzielnik liczbę stojącą przy największej potędze i to tyle...

mmoonniiaa, co z tym zrobić? Wyłączyć czwórkę przed nawias i wtedy liczyć?

[szw1710]

Nie - także dzielniki tego wyrazu. Jest na to twierdzenie.

[mat_61]

mmoonniiaa, co z tym zrobić? Wyłączyć czwórkę przed nawias i wtedy liczyć?

Pogrupuj wyrazy w ten sposób:

\(\displaystyle{ \left( 4x^4-x^2\right) +\left( 4x^3-x\right) +\left( 4x^2-1\right)}\)

i z każdego nawiasu wyciągnij przed nawias wspólny czynnik, a dalej z górki.

[mmoonniiaa]

Lub też w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left( 4x ^{4} +4x ^{3}+4x ^{2}\right)+ \left( -x^{2} -x-1\right)}\)
Z pierwszego nawiasu wyciągnij \(\displaystyle{ 4x^{2}}\), z drugiego \(\displaystyle{ -1}\).

[Drevis]

Moglibyście pokazać to jeden krok do przodu?

[mmoonniiaa]

Jeden krok:
\(\displaystyle{ 4x^{2}\left( x ^{2} +x+1\right)+ \left( -x^{2} -x-1\right)}\)
Drugi nawias zrobisz Ty.

[Drevis]

Nie no spoko, z jednego nawiasu to jeszcze się nie zawieszę, bardziej chodziło mi o to że z kilku jednego czynnika nie umiem wyłączyć

Podejrzewam że

\(\displaystyle{ 4x^{2}\left( x ^{2} +x+1\right)- \left( x^{2}+x+1\right)}\)



EDIT: Bo rozumiem, że po wyłączeniu tego co napisał mat_61 ma wyjść coś jak

\(\displaystyle{ x(a-b)+(c-d)+(e-f)}\)

lub

\(\displaystyle{ x(a-b)(c-d)(e-f)}\)

[mmoonniiaa]

No i teraz wspólnym czynnikiem jest \(\displaystyle{ \left( x^{2}+x+1\right)}\), co byś z tym fantem zrobił? Może znów wyłączyć przed nawias?

mat_61 podał trochę inną kolejność wyłączania przed nawias, z tym że wymagało to trochę zmiany kolejności wyrazów w wielomianie.

Sposób mat_61:
\(\displaystyle{ L=4x ^{4} +4x ^{3}+4x ^{2}-x^{2} -x-1=\left( 4x^4-x^2\right) +\left( 4x^3-x\right) +\left( 4x^2-1\right)=x^{2}\left( 4x^{2}-1\right) +x\left( 4x^{2}-1\right) +\left( 4x^{2}-1\right) =\left( 4x^{2}-1\right)\left( x^{2}+x+1\right)}\)

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ L=4x ^{4} +4x ^{3}+4x ^{2}-x^{2} -x-1=4x^{2}\left( x ^{2} +x+1\right)- \left( x^{2}+x+1\right)=\left( x ^{2} +x+1\right)\left( 4x^{2}-1\right)}\)

Jak widzisz efekt ten sam, tylko kolejne kroki trochę inne. Wybór sposobu należy do Ciebie.

[Drevis]

No dobra, dziękuję bardzo, ale teraz co z tym zrobić? Deltę z obu i już po wielomianie?

[mmoonniiaa]

Tu: \(\displaystyle{ \left( 4x^{2}-1\right)}\) przyda się znajomość wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Tu: \(\displaystyle{ \left( x ^{2} +x+1\right)}\) policz deltę.

[Drevis]

Rozumiem, że chodzi o

\(\displaystyle{ (2x+1)(2x-1)}\)

I co mi to teraz daje?

[mmoonniiaa]

Tak, deltę dla trójmianu policzyłeś, jaka wyszła? Teraz trzeba zająć się rozwiązaniem nierówności.