Rozłożenie wielomianu na czynniki

[matti0010]

Witam, właśnie zająłem się jednym przykładem jak w temacie i mnie tak zagiął że... xD oto on:
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{4} +4x ^{3}-18x ^{2}+9}\).
Prosiłbym jedynie o podpowiedź jak się do tego zabrać, ponieważ sam chcę poćwiczyć i to rozwiązać

[matti0010]

Jestem tutaj od niedawna i przepraszam za zamieszanie ze złym działem.

Własnie dla tego że sam nie potrafię niczego sensownego wymyslić prosze tutaj o pomoc wystarczy nawet nakierowanie gdzie powinienem poszukać lub pod jakimi hasłami by udalo się znaleźć rozwiązanie póki co rozumię że powinienem poszukać poza zbiorem Q, a może coś dokładniej?

[Jan Kraszewski]

WolframAlpha nie daje specjalnych nadziei na rozsądne rozwiązanie.

JK

[Althorion]

Jeśli jesteś cierpliwy, to istnieją wzory na pierwiastki wielomianów czwartego stopnia zwane wzorami Ferrariego.

[Mariusz M]

Możesz rozłożyć ten wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+b\right)\left( x^2+cx+d\right)=x^4+4x^3-18x^2+9}\)
Po porównaniu współczynników otrzymasz układ równań
Rozwiązując ten układ w pewnym momencie dostaniesz równanie szóstego stopnia które to
podstawieniem liniowym możesz sprowadzić do rownania trzeciego stopnia na wprowadzoną zmienną do kwadratu

Możesz też rozłożyć ten na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych wielomian korzystając
ze wzorów skróconego mnożenia i wyróżnika trójmianu kwadratowego

Najpierw sprowadzasz wielomian do postaci różnicy kwadratów ,a później
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujesz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Wielomian powinien wyglądać mniej więcej tak

\(\displaystyle{ \left( x^2+b_{1}x+b_{2}\right)^2-\left( c_{1}x+c_{0}\right)^2}\)

Grupujesz wielomian w dwa nawiasy pomiędzy którymi stawiasz znak minus
W nawiasie po twojej lewej masz wyrazy z \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\)
a w nawiasie po twojej prawej masz trójmian kwadratowy
Wielomian z lewego nawiasu sprowadzasz do kwadratu dodając do obydwu nawiasów odpowiedni wyraz
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia.
Wielomian z prawego nawiasu jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem gdy jego wyróżnik będze równy zero
Możesz liczyć wyróżnik od razu ale jest mało prawdopodobne że będzie on równy zero
Wprowadzasz więc nową zmienną tak aby wielomian z prawego nawiasu był nadal kwadratem
(znowu dodajesz do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia)
Liczysz wyróżnik trójmianu kwadratowego w prawym nawiasie i przyrównujesz go do zera
Dostajesz równanie trzeciego stopnia które rozwiązujesz stosując podstawienia

\(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

Po podstawieniu otrzymujesz równanie

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)

Do tego równania stosujesz jedno z poniższych podstawień

\(\displaystyle{ y=u+v\\
y=u-\frac{p}{3u}\\
y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{\theta}}\)

Gdy już rozwiążesz równanie trzeciego stopnia to wybierasz jeden z jego pierwiastków
i wstawiając do równania czwartego stopnia otrzymujesz różnicę kwadratów
Teraz gdy równanie jest w postaci różnicy kwadratów korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujesz iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Równanie czwartego stopnia możesz rozwiązać też w nieco inny sposób

Współczynniki wielomianu

\(\displaystyle{ F\left( x\right)= \left( x-\left( x_{1}+x_{2}\right) \right)\left( x-\left( x_{3}+x_{4}\right) \right)\left( x-\left( x_{1}+x_{3}\right) \right)\left( x-\left( x_{2}+x_{4}\right) \right)\left( x-\left( x_{1}+x_{4}\right) \right)\left( x-\left( x_{2}+x_{3}\right) \right)}\)

są wielomianami symetrycznymi względem pierwiastków wielomianu a co za tym idzie mogą być przedstawione za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
Mając współczynniki tego wielomianu wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe możesz korzystając ze wzorów Viete wyrazić je za pomocą współczynników wielomianu czwartego stopnia
Wobec prawdziwości wzoru Viete na sumę pierwiastków podstawienie
\(\displaystyle{ t=x-\frac{a_{3}}{2}}\) sprowadza równanie \(\displaystyle{ F\left( x\right)=0}\)
w równanie \(\displaystyle{ F\left( t\right)=0}\) o niezerowych współczynnikach tylko przy parzystej potędze

[matti0010]

nie pozostaje mi nic innego jak spróbować