Czy dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n >1}\), istnieje wielomian jednej zmiennej rzeczywistej o współczynnikach całkowitych stopnia \(\displaystyle{ n}\), mający \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków niewymiernych?
Myślałem o wzorach Viete'a, ale nie widzę zależności między współczynnikami a pierwiastkami w ogólnym przypadku. Podobnie z indukcją - nie widzę związku między założeniem a tezą.
Wielomiany o współczynnikach całkowitych
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 74 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Wielomiany o współczynnikach całkowitych
Mamy wzór \(\displaystyle{ (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=x^2-a}\). Podstawmy za liczbę \(\displaystyle{ a}\) jakąś całkowitą liczbę dodatnią. W ten sposób możemy utworzyć wielomian drugiego stopnia o żądanej własności, a także jeżeli mamy już jakiś wielomian stworzyć wielomian stopnia o \(\displaystyle{ 2}\) większego. Aby zakończyć wystarczy wskazać wielomian trzeciego stopnia o żądanych własnościach, jest nim np. \(\displaystyle{ x^3-3x+1}\).