Rozłóż wielomian

[matematykapl]

Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{6} + 9x ^{3} + 8}\) na czynniki możliwie najniższego stopnia.

Jak się za to zabrać? Pomogą tutaj dzielniki wyrazu wolnego, czy nie za bardzo? Coś takiego: \(\displaystyle{ (x ^{2}) ^{3} + (9x) ^{3} + 2 ^{3}}\) - ale to chyba w niczym nie pomoże, co?

[G17]

Zauważ że \(\displaystyle{ f(-1)=0}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)=x^{6}+9x^{3}+8}\)

[mmoonniiaa]

\(\displaystyle{ W\left( x\right) =\left( x^{3}\right) ^{2}+9x^{3}+8}\)
Warto wprowadzić zmienną pomocniczą: \(\displaystyle{ x^{3}=t}\) i zapisać:
\(\displaystyle{ W\left( t\right) =t^{2}+9t+8}\)
Teraz \(\displaystyle{ \Delta}\), następnie pierwiastki \(\displaystyle{ t_1}\), \(\displaystyle{ t_2}\), powrót do podstawienia i wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów.

[matematykapl]

Dobra, wyliczyłem: \(\displaystyle{ t _{1} = -8, t _{2} = -1, x ^{3} = t \Leftrightarrow x _{1} = -2, x _{2} = -1}\) - co teraz z tym? \(\displaystyle{ W(t) = (t + 8)(t + 1)}\) - co zrobić z \(\displaystyle{ x}\)? Jak podstawić to do wzoru \(\displaystyle{ a ^{3} + b ^{3} = (a + b)(a ^{2} - ab + b ^{2})}\)?

[mmoonniiaa]

Wstawiasz tutaj:
\(\displaystyle{ \left( t + 8\right) \left( t + 1\right) =\left( x^{3}+8\right) \left( x^{3}+1\right) =\left( x^{3}+2^{3}\right) \left( x^{3}+1^{3}\right)}\)
Widzisz już teraz, jak w dwóch miejscach zastosować wzór skróconego mnożenia?

[matematykapl]

Teraz widzę, dzięki. To już koniec zadania? Czy jeszcze to da się rozłożyć, teraz tym wzorem na sumę?

Czyli: \(\displaystyle{ (x + 2)(x ^{2} - 2x + 4)(x + 1)(x ^{2} - x + 1) = x ^{6} + 9x ^{3} + 8}\) - można to tak zapisać?

[mmoonniiaa]

To jeszcze nie koniec zadania.
Sprawdź, czy któryś z trójmianów kwadratowych da się jeszcze rozłożyć na czynniki.

[G17]

Tak to koniec bo \(\displaystyle{ x^{2}-x+1}\) i \(\displaystyle{ x^{2}-2x+4}\) nie maja rozwiazan jezeli rozpatrujemy zbior liczb \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

[mmoonniiaa]

Chodziło mi to, żeby kolega matematykapl był pewien, że tych trójmianów nie da się już rozłożyć. Zawsze dążymy do tego, aby rozłożyć na czynniki możliwie najniższych stopni. Oczywiście jeśli już sprawdziłeś, ze trójmiany są nierozkładalne, to owszem jest to koniec zadania i możesz zapisać to w takiej postaci, jak zapisałeś (stawiając znak równości między pierwszą a końcową postacią).