Twierdzenie Bezouta

[Pavvelrm]

Siema proszę o pomoc, nie mam kompletnie pojęcia jak to zrobić. Nauczycielka kazała nam się tego nauczyć przez weekend i tyle, nie wiem nawet jak się za to zabrać, proszę o składną i powolną pomoc.

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu w przez:
\(\displaystyle{ (x-3)(x+2)}\), jeżeli reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) wynosi \(\displaystyle{ 7}\), a przez dwumian\(\displaystyle{ x+2}\) wynosi\(\displaystyle{ -3}\).

[Premislav]

Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian "jakiś tam" musi być niższego stopnia niż wielomian "jakiś tam" (kluczowe).
Zatem jaką ogólną postać będzie miała reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-3)}\)?
Następnie podstawiasz dwukrotnie odpowiednie wartości \(\displaystyle{ x}\), "główna część" za każdym razem Ci się zeruje, a na resztę dostajesz prosty układ równań, pozwalający Ci wyliczyć współczynniki.

[Pavvelrm]

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x ^{2} -x-6)+ax+b \\
W(\red 3 \black)=Q(3)(9-3-6)+3a+b= \red 3 \black \\
W(\red 2 \black)=Q(2)(4+2-6)+2a+b= \red 2 \black}\)

Nie jestem przekonany co wstawic tam gdzie na czerwono.

[AloneAngel]

Troszkę ten zapis nieczytelny.

\(\displaystyle{ W(x) = Q(x)(x-3)(x+2) + ax + b}\)

Wiemy, że dla \(\displaystyle{ x = 3}\) wartość wynosi \(\displaystyle{ 7}\) a więc \(\displaystyle{ W(3) = 7}\):

\(\displaystyle{ W(3) = Q(3)(3-3)(3+2) + 3a + b = 7\\
\\
7 = 3a+b}\)

Wiemy, że dla \(\displaystyle{ x = -2}\) wartość wynosi \(\displaystyle{ -3}\) a więc \(\displaystyle{ W(-2) = -3}\):

\(\displaystyle{ W(-2) = Q(-2)(-2-3)(-2+2) + (-2a) + b = -3\\
\\
-3 = -2a + b}\)

I rozwiązujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+b = 7 \\ -2a+b = -3 \end{cases}}\)