Rozkład wielomianu na czynniki

[Quentin]

Mam następujące równania:

\(\displaystyle{ x^{5} - 2x^{4} + x^{2} + x^{3} + 3}\)
\(\displaystyle{ 2x^{3} - 3x^{2} + 1}\)

I nie wiem jak rozłożyć je na czynniki pierwsze. Mógłby mi ktoś powiedzieć jakie wielomiany mam tu dodać/odjąć, tak żeby wyszła ich parzysta ilość (inne sposoby odpadają bo nie miałem ich jeszcze na lekcji)?

[AloneAngel]

Zacząłbym od twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu.

[Gta]

\(\displaystyle{ f(x)=2x^{3}-3x^{2}+1=0 \Longrightarrow f(1)=0}\)
Opcja numer 1: Dzielisz przez \(\displaystyle{ x-1}\)
Opcja numer 2: Grupujesz

[Quentin]

Nie mam używać do tego żadnych twierdzeń na razie, tylko same zastępowania jednomianów 2 jednomianami itp.

[Gta]

\(\displaystyle{ 2x^{3}-3x^{2}+1=0 \\2x^{3}-2x^{2}-x^{2}+x-x+1 = 0 \\ 2x^{2}\left( x-1\right) -x\left( x-1\right)-1\left( x-1\right) =0 \\ \left( 2x^{2}-x-1\right) \cdot \left( x-1\right)=0}\)

[Quentin]

Dzięki wielkie, a mógłbym prosić o podobną wskazówkę do pierwszego równania? Ciężko mi na to wpaść tą metodą losowych podstawiań...

[Gta]

Tak moge
\(\displaystyle{ f(x)=x^{5} - 2x^{4} + x^{2} + x^{3} + 3 \Longrightarrow f(-1)=0}\)
I teraz podobnie grupujesz np
\(\displaystyle{ x^{5} - 2x^{4} + x^{2} + x^{3} + 3 =0}\)
\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-3x^{4}-3x^{3}+4x^{3}+4x^{2}-3x^{2}-3x+3x+3 = 0}\)

[Quentin]

Co ma na celu ten zapis?

\(\displaystyle{ f(x)=x^{5} - 2x^{4} + x^{2} + x^{3} + 3 \Longrightarrow f(-1)=0}\)

Końcówka ostatniego równania:

\(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}-3x^{4}-3x^{3}+4x^{3}+4x^{2}-3x-3=0}\)

nie powinna wyglądać tak?

\(\displaystyle{ -3x^{2} + 3 = 0}\)

Policzyłem to z tymi moimi "poprawkami" (nie wiem czy to był błąd u Ciebie) i wyszło mi takie coś:

\(\displaystyle{ -3x^{2}(x+1)(x-1)(x^{2} - 3x + 4)}\)

Jest to poprawny wynik ?

[Gta]

Chodzi mi o to że jeżeli dana jest funkcja postaci \(\displaystyle{ f(x)= a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_{n}}\)
to jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=0}\) to oznacza że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest miejscem zerowym tej funkcji

[Quentin]

I teraz jak wychodzi mi:

\(\displaystyle{ x(x + 1)(x^{3} - 3x^{2} + 4x - 3) = x(x + 1)(x(x^{2} - 3x + 4) - 3)=}\)

to jak to mogę bardziej "elegancko zapisać" ?

[Gta]

Po przekształceniach dostaniemy:
\(\displaystyle{ \left( x+1\right) \cdot \left( x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x+3\right) = 0}\)
Co do drugiego jest problem.
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x+3}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(1)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(-1)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(3)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(-3)\neq 0}\)
To oznacza że ta funkcja już nie będzie miała miejsc 0-ch.
Cała funkcja ma 1 rozwiązanie - jest nim liczba minus jeden.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ f_{1}(x)=x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x+3}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(1)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(-1)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(3)\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(-3)\neq 0}\)
To oznacza że ta funkcja już nie będzie miała miejsc 0-ch.

To nie oznacza, że ta funkcja już nie będzie miała miejsc zerowych. To oznacza jedynie, że nie będzie miała całkowitych (wymiernych) miejsc zerowych. By uzasadnić, że nie ma w ogóle miejsc zerowych trzeba się trochę napracować.

JK

[spamer]

Hm, ale w przypadku \(\displaystyle{ x^4-3x^3+4x^2-3x+3}\) są cztery, ale tylko zespolone?

[Phobos71]

Hm, ale w przypadku \(\displaystyle{ x^4-3x^3+4x^2-3x+3}\) są cztery, ale tylko zespolone?

Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną. Rozwiązaniami tego równania są cztery liczby zespolone, z częściami urojonymi różnymi od zera.

[Quentin]

Dalej nie wiem, jak poprzez samo rozbijanie jednego jednomianu na dwa, bez używania żadnych dzieleń na wielomianach, twierdzeń itp., mogę dojść do postaci jak w odpowiedziach czyli:

\(\displaystyle{ (x^{2} + 1)(x + 1)(x^{2} -3x +3)}\)