Mam problem z trzeba przykładami. Oto i one:
\(\displaystyle{ a) x^4+3x^3-15x^2-19x+30 \\
b) x ^{4} - x^3 - x^2 -x - 2 \\
c) x^4 +5x^3 +14x^2 +22x +12}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Rozkład na czynniki wielomianów.
-
Incandence
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 12 wrz 2011, o 17:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ok. Warszawy
- Podziękował: 6 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
Te twierdzenie o pierwiastkach wymiernych jest dobre ale nie zawsze działa
\(\displaystyle{ x^4 +5x^3 +14x^2 +22x +12}\)
Najpierw przedstawmy równanie w postaci różnicy kwadratów
Grupujemy wyrazy wielomianu w dwa nawiasy między którymi stawiamy znak minus
\(\displaystyle{ \left(x^4 +5x^3\right) -\left(-14x^2 -22x -12\right)\\}\)
Dodajemy do obydwu nawiasów taki wyraz aby w jednym z nawiasów otrzymać wzór skróconego mnożenia
na kwadrat sumy/różnicy
\(\displaystyle{ \left(x^4 +5x^3+\frac{25}{4}x^2\right) -\left(-\frac{31}{4}x^2 -22x -12\right)\\
\left( x^2+\frac{5}{2}x\right)^2 -\left(-\frac{31}{4}x^2 -22x -12\right)\\}\)
Wyrażenie w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem gdy jego wyróżnik
będzie równy zero
Gdybyśmy od razu liczyli wyróżnik tego trójmianu mogłoby się okazać że nie jest on równy zero
trzeba więc uzależnic go od nowej zmiennej
Dodajemy więc do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{5}{2}x+\frac{y}{2}\right)^2 -\left(\left( y-\frac{31}{4}\right) x^2 +\left( \frac{5}{2}y-22 \right) x + \frac{y^2}{4} -12\right)\\}\)
Po tym jak wprowadziliśmy nową zmienną liczymy wyróżnik i przyrównujemy go do zera
\(\displaystyle{ \left( y^2-48\right)\left( y- \frac{31}{4} \right)-\left( \frac{5}{2}y-22 \right)^2=0\\
y^3- \frac{31}{4}y^2-48y+372-\left( \frac{25}{4}y^2-110y+484 \right)=0\\
y^3-14y^2+62y-112=0\\}\)
Pierwiastkiem równania trzeciego stopnia jest
\(\displaystyle{ y=8}\)
jak ktoś tego nie widzi to niech rozwiąże
np tak
1. Odpowiednimi podstawieniami sprowadzamy równanie do równania kwadratowego
W przypadku równania trzeciego stopnia podstawienia lepiej się sprawdzają niż dzielenie
jeżeli chodzi o sprowadzanie równania do równania kwadratowego
Te podstawienia to
\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
Po podstawieniu powinniśmy dostać takie równanie
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Teraz podstawiamy
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
albo
\(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
Po zastosowaniu podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\)
otrzymamy równanie które należy przekształcić
w układ równań który będzie przypominał wzory Viete dla trójmianu kwadratowego
Po zastosowaniu podstawienia \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
wystarczy pomnożyć równanie przez \(\displaystyle{ u^3}\)
i otrzymamy równanie kwadratowe na \(\displaystyle{ u^3}\)
2. Odpowiednimi podstawieniami sprowadzamy równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Podstawienie które pozwoli sprowadzić równanie do żądanej postaci to
\(\displaystyle{ y=2 \sqrt{- \frac{p}{3} }\cos{\theta}}\)
W obliczeniach mogą pojawić się liczby zespolone
Wracamy do równania
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{5}{2}x+4\right)^2 -\left( \frac{1}{4} x^2 -2x +4\right)\\
\left( x^2+\frac{5}{2}x+4\right)^2-\left( \frac{1}{2}x-2 \right)^2}\)
Teraz gdy już mamy wielomian przedstawiony w postaci różnicy kwadratów
stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy iloczyn
dwóch trójmianów a stąd już dalej łatwo
\(\displaystyle{ \left(x^2+2x+6 \right)\left( x^2+3x+2\right)}\)
Z pozostałymi wielomianami podobnie
\(\displaystyle{ x^4 +5x^3 +14x^2 +22x +12}\)
Najpierw przedstawmy równanie w postaci różnicy kwadratów
Grupujemy wyrazy wielomianu w dwa nawiasy między którymi stawiamy znak minus
\(\displaystyle{ \left(x^4 +5x^3\right) -\left(-14x^2 -22x -12\right)\\}\)
Dodajemy do obydwu nawiasów taki wyraz aby w jednym z nawiasów otrzymać wzór skróconego mnożenia
na kwadrat sumy/różnicy
\(\displaystyle{ \left(x^4 +5x^3+\frac{25}{4}x^2\right) -\left(-\frac{31}{4}x^2 -22x -12\right)\\
\left( x^2+\frac{5}{2}x\right)^2 -\left(-\frac{31}{4}x^2 -22x -12\right)\\}\)
Wyrażenie w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem gdy jego wyróżnik
będzie równy zero
Gdybyśmy od razu liczyli wyróżnik tego trójmianu mogłoby się okazać że nie jest on równy zero
trzeba więc uzależnic go od nowej zmiennej
Dodajemy więc do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{5}{2}x+\frac{y}{2}\right)^2 -\left(\left( y-\frac{31}{4}\right) x^2 +\left( \frac{5}{2}y-22 \right) x + \frac{y^2}{4} -12\right)\\}\)
Po tym jak wprowadziliśmy nową zmienną liczymy wyróżnik i przyrównujemy go do zera
\(\displaystyle{ \left( y^2-48\right)\left( y- \frac{31}{4} \right)-\left( \frac{5}{2}y-22 \right)^2=0\\
y^3- \frac{31}{4}y^2-48y+372-\left( \frac{25}{4}y^2-110y+484 \right)=0\\
y^3-14y^2+62y-112=0\\}\)
Pierwiastkiem równania trzeciego stopnia jest
\(\displaystyle{ y=8}\)
jak ktoś tego nie widzi to niech rozwiąże
np tak
1. Odpowiednimi podstawieniami sprowadzamy równanie do równania kwadratowego
W przypadku równania trzeciego stopnia podstawienia lepiej się sprawdzają niż dzielenie
jeżeli chodzi o sprowadzanie równania do równania kwadratowego
Te podstawienia to
\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
Po podstawieniu powinniśmy dostać takie równanie
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Teraz podstawiamy
\(\displaystyle{ y=u+v}\)
albo
\(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
Po zastosowaniu podstawienia \(\displaystyle{ y=u+v}\)
otrzymamy równanie które należy przekształcić
w układ równań który będzie przypominał wzory Viete dla trójmianu kwadratowego
Po zastosowaniu podstawienia \(\displaystyle{ y=u-\frac{p}{3u}}\)
wystarczy pomnożyć równanie przez \(\displaystyle{ u^3}\)
i otrzymamy równanie kwadratowe na \(\displaystyle{ u^3}\)
2. Odpowiednimi podstawieniami sprowadzamy równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego
Podstawienie które pozwoli sprowadzić równanie do żądanej postaci to
\(\displaystyle{ y=2 \sqrt{- \frac{p}{3} }\cos{\theta}}\)
W obliczeniach mogą pojawić się liczby zespolone
Wracamy do równania
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{5}{2}x+4\right)^2 -\left( \frac{1}{4} x^2 -2x +4\right)\\
\left( x^2+\frac{5}{2}x+4\right)^2-\left( \frac{1}{2}x-2 \right)^2}\)
Teraz gdy już mamy wielomian przedstawiony w postaci różnicy kwadratów
stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy iloczyn
dwóch trójmianów a stąd już dalej łatwo
\(\displaystyle{ \left(x^2+2x+6 \right)\left( x^2+3x+2\right)}\)
Z pozostałymi wielomianami podobnie
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
a) tw o pierwiastkach całkowitych.
b) pierwiastki całkowite, widać że \(\displaystyle{ x=2}\) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\) będą pierwiastkami.
b) pierwiastki całkowite, widać że \(\displaystyle{ x=2}\) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\) będą pierwiastkami.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
Zgadza się tutaj twierdzenie o pierwiastkach całkowitych starczy ale w przypadku ogólnym
trzeba inaczej szukać pierwiastków
fon_nojman, w pdf
przedstawiona jest metoda funkcyj symetrycznych
Wiem mniej więcej o co w niej chodzi ale nie znam efektywnego algorytmu wyrażania
wielomianu symetrycznego przez wielomiany symetryczne podstawowe
(mam na myśli coś podobnego do wzorów Newtona dla sum potęg)
Znasz jakiś efektywny algorytm np pozwalający napisać i rozwiązać układ równań
trzeba inaczej szukać pierwiastków
fon_nojman, w pdf
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdfWiem mniej więcej o co w niej chodzi ale nie znam efektywnego algorytmu wyrażania
wielomianu symetrycznego przez wielomiany symetryczne podstawowe
(mam na myśli coś podobnego do wzorów Newtona dla sum potęg)
Znasz jakiś efektywny algorytm np pozwalający napisać i rozwiązać układ równań
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
Niestety wcześniej nie spotkałem się z tą metodą i nie za bardzo pomogę.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
\(\displaystyle{ x^4+3x^3-15x^2-19x+30\\
x=y- \frac{3}{4}\\
\left( y- \frac{3}{4} \right)^4+3\left( y- \frac{3}{4} \right)^3-15\left(y- \frac{3}{4} \right)^2-19\left( y- \frac{3}{4} \right)+30\\
y^4-3y^3+ \frac{27}{8}y^2- \frac{27}{16}y+ \frac{81}{256}+3y^3-\frac{27}{4}y^2+\frac{81}{16}y-\frac{81}{64}-15y^2+\frac{45}{2}y-\frac{135}{16}-19y+\frac{57}{4}+30\\
y^4-\frac{147}{8}y^2+\frac{55}{8}y+\frac{8925}{256}\\
16y^4-294y^2+110y+\frac{8925}{16}\\
2y=u+v+w\\
4y^2=u^2+v^2+w^2+2\left( uv+uw+vw\right) \\
16y^4=\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)\\
\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)-\frac{147}{2}\left(u^2+v^2+w^2 \right)-147\left( uv+uw+vw\right)+55\left( u+v+w\right)+ \frac{8925}{16} \\
\left( u^2+v^2+w^2- \frac{147}{4} \right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2- \frac{147}{4} \right)\left( uv+uw+vw\right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)- \frac{21609}{16}+ \frac{8925}{16}+8\left( u+v+w\right)\left( uvw+ \frac{55}{8} \right) \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2-\frac{147}{4}=0 \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2- \frac{3171}{16}=0\\uvw+\frac{55}{8}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2=\frac{147}{4} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{3171}{16}\\uvw=-\frac{55}{8} \end{cases} \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2=\frac{147}{4} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{3171}{16}\\u^2v^2w^2=\frac{3025}{64} \end{cases} \\
t^3-\frac{147}{4}t^2+\frac{3171}{16}t-\frac{3025}{64}=0\\}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{1}{4}\\
t^3-\frac{147}{4}t^2+\frac{3171}{16}t-\frac{3025}{64}=\left( t- \frac{1}{4} \right)\left( t^2- \frac{73}{2}t+ \frac{3025}{16} \right)\\
\Delta=\frac{5329}{4}-\frac{3025}{4}=\frac{2304}{4}=24^2\\
t_{2}= \frac{73-48}{4}=\frac{25}{4}\\
t_{3}= \frac{73+48}{4}=\frac{121}{4}\\
u=-\frac{1}{2}\\
v=\frac{5}{2}\\
w=\frac{11}{2}\\}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( - \frac{1}{2}+\frac{5}{2}+ \frac{11}{2} \right)=3\\
x_{2}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( - \frac{1}{2}-\frac{5}{2}- \frac{11}{2} \right)=-5\\
x_{3}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+\frac{5}{2}- \frac{11}{2} \right)=-2\\
x_{4}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}-\frac{5}{2}+ \frac{11}{2} \right)=1\\
x^4+3x^3-15x^2-19x+30=\left( x+5\right)\left( x+2\right)\left( x-1\right)\left( x-3\right)}\)
x=y- \frac{3}{4}\\
\left( y- \frac{3}{4} \right)^4+3\left( y- \frac{3}{4} \right)^3-15\left(y- \frac{3}{4} \right)^2-19\left( y- \frac{3}{4} \right)+30\\
y^4-3y^3+ \frac{27}{8}y^2- \frac{27}{16}y+ \frac{81}{256}+3y^3-\frac{27}{4}y^2+\frac{81}{16}y-\frac{81}{64}-15y^2+\frac{45}{2}y-\frac{135}{16}-19y+\frac{57}{4}+30\\
y^4-\frac{147}{8}y^2+\frac{55}{8}y+\frac{8925}{256}\\
16y^4-294y^2+110y+\frac{8925}{16}\\
2y=u+v+w\\
4y^2=u^2+v^2+w^2+2\left( uv+uw+vw\right) \\
16y^4=\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)\\
\left( u^2+v^2+w^2\right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2\right)\left( uv+uw+vw\right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)+8uvw\left( u+v+w\right)-\frac{147}{2}\left(u^2+v^2+w^2 \right)-147\left( uv+uw+vw\right)+55\left( u+v+w\right)+ \frac{8925}{16} \\
\left( u^2+v^2+w^2- \frac{147}{4} \right)^2+4\left( u^2+v^2+w^2- \frac{147}{4} \right)\left( uv+uw+vw\right)+4\left( u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2\right)- \frac{21609}{16}+ \frac{8925}{16}+8\left( u+v+w\right)\left( uvw+ \frac{55}{8} \right) \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2-\frac{147}{4}=0 \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2- \frac{3171}{16}=0\\uvw+\frac{55}{8}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2=\frac{147}{4} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{3171}{16}\\uvw=-\frac{55}{8} \end{cases} \\
\begin{cases} u^2+v^2+w^2=\frac{147}{4} \\ u^2v^2+u^2w^2+v^2w^2= \frac{3171}{16}\\u^2v^2w^2=\frac{3025}{64} \end{cases} \\
t^3-\frac{147}{4}t^2+\frac{3171}{16}t-\frac{3025}{64}=0\\}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{1}{4}\\
t^3-\frac{147}{4}t^2+\frac{3171}{16}t-\frac{3025}{64}=\left( t- \frac{1}{4} \right)\left( t^2- \frac{73}{2}t+ \frac{3025}{16} \right)\\
\Delta=\frac{5329}{4}-\frac{3025}{4}=\frac{2304}{4}=24^2\\
t_{2}= \frac{73-48}{4}=\frac{25}{4}\\
t_{3}= \frac{73+48}{4}=\frac{121}{4}\\
u=-\frac{1}{2}\\
v=\frac{5}{2}\\
w=\frac{11}{2}\\}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( - \frac{1}{2}+\frac{5}{2}+ \frac{11}{2} \right)=3\\
x_{2}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( - \frac{1}{2}-\frac{5}{2}- \frac{11}{2} \right)=-5\\
x_{3}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}+\frac{5}{2}- \frac{11}{2} \right)=-2\\
x_{4}=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}-\frac{5}{2}+ \frac{11}{2} \right)=1\\
x^4+3x^3-15x^2-19x+30=\left( x+5\right)\left( x+2\right)\left( x-1\right)\left( x-3\right)}\)
-
denatlu
- Użytkownik
- Posty: 524
- Rejestracja: 10 mar 2011, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 14 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
jak się te odpowiednie wyrazy dodaje?Gdybyśmy od razu liczyli wyróżnik tego trójmianu mogłoby się okazać że nie jest on równy zero
trzeba więc uzależnic go od nowej zmiennej
Dodajemy więc do obydwu nawiasów odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład na czynniki wielomianów.
denatlu, normalnie patrzysz na wzór skróconego mnożenia i dodajesz
brakujące wyrazy we wzorze na kwadrat sumy/różnicy
Dodajesz do obydwu nawiasów ponieważ "pero pero bilans musi wyjść na zero"
brakujące wyrazy we wzorze na kwadrat sumy/różnicy
Dodajesz do obydwu nawiasów ponieważ "pero pero bilans musi wyjść na zero"