Określ dziedzinę podanego wyrażenia

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 07:52

Określ dziedzinę podanego wyrażenia a następnie przedstaw w prostszej postaci

\(\displaystyle{ a) \ \frac{3x ^{3} -x}{6x ^{4}-2x ^{2} } \\ \\
b) \ \frac{ 2x ^{6} -5x ^{3}}{15x ^{4} -6x ^{3}} \\ \\
c) \ \frac{20x-5}{4x ^{3} -x ^{2}} \\ \\
d) \ \frac{ 6x ^{2} -18x}{9-3x} \\}\)

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 08:13

Czyli znajdź pierwiastki mianownika, przedstaw licznik i mianownik w postaci iloczynowej i skróć. Np. w pierwszym podpunkcie:
dziedzina:
\(\displaystyle{ 6x^4-2x^2 \ne 0 \\
2 x^2 (3x^2-1) \ne 0 \\
2x^2 (\sqrt{3} x - 1) (\sqrt{3} x + 1) \ne 0 \\
\Rightarrow x \ne 0 \ \wedge \ x \ne \frac{1}{\sqrt{3}} \ \wedge \ x \ne - \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
ułamek:
\(\displaystyle{ \frac{3x^3 -x}{6x^4-2x^2} = \frac{x(3x^2 - 1)}{2x^2 (3x^2 - 1) }= \frac{1}{2x}}\)

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 08:48

\(\displaystyle{ 15x ^{4}-6x ^{3} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 3x ^{2}(5x ^{2}-2) \neq 0}\)
i na tym się zacinam ;/

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 09:03

\(\displaystyle{ 3x^{\color{red} 3} (5x-2) \ne 0}\)

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 09:10

czyli bedzie \(\displaystyle{ x \neq - \frac{2}{5}}\)??

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 09:19

Dlaczego minus? Masz:
\(\displaystyle{ 3x^3 \ne 0 \ \wedge \ 5x-2 \ne 0 \\
\Rightarrow x \ne 0 \ \wedge \ x \ne \frac{2}{5}}\)

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 09:27

faktycznie

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3} (2x ^{3} -5)}{3x ^{3} (5x ^{2} -2)}}\)

i to skracamy przez siebie?

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 09:33

\(\displaystyle{ 5{\color{red} x}}\) w mianowniku. Skracasz tylko \(\displaystyle{ x^3}\) i to w zasadzie koniec.

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 09:36

czyli
\(\displaystyle{ \frac{2x ^{3}-5 }{2x ^{3}(5x ^{2}-2 }}\) ?

przepraszam że tak topornie ale staram się zrozumieć to jakoś

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 09:38

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3} (2x ^{3} -5)}{3x ^{3} (5x -2)} = \frac{2x ^{3} -5}{3(5x -2)}}\)

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 09:45

\(\displaystyle{ 4x ^{3} -x ^{2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} (4x-1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} (4x-1) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} \neq 0 \wedge x \neq \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{20x-5}{4x ^{3}-x ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{5(4x-1)}{x ^{2} (4x-1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{x ^{2} }}\)??
tak o będzie?

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 09:50

Tak, teraz dobrze.

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 09:59

\(\displaystyle{ \frac{ 6x ^{2}-18x}{9-3x}}\)
\(\displaystyle{ 9-3x \neq =0}\)
\(\displaystyle{ 3(3-1x) \neq =0}\)
\(\displaystyle{ x \neq 3}\)?

\(\displaystyle{ \frac{ 6x ^{2}-18x}{9-3x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{6x(x-3)}{3(3-x)}}\)
to upraszczamy do
\(\displaystyle{ \frac{6x}{3}}\) czy zostawiamy juz?

scyth · Post autor: **scyth** » 12 wrz 2012, o 10:06

jeszcze możesz skrócić. No i źle uprościłeś - zauważ, że masz zły znak.

olbun · Post autor: **olbun** » 12 wrz 2012, o 10:13

zostanie \(\displaystyle{ -2x}\)?