Równanie wielomianowe

[Thoous]

Witam proszę o pomoc: mianowcie, mam rówananie: \(\displaystyle{ 2x^5 + 6x^3 -8x =0}\) jak sprawdzić ile rozwiązań ma to rówanie?

[edith1423]

Wyciągnij \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, a potem wstaw sobie za \(\displaystyle{ x ^{2}}\) zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\). Rozwiąż równanie i wtedy zobaczysz, ile ma rozwiązań.

[Thoous]

Mogła być to przedstawić?

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ 2x^{5} + 6x^{3} -8x =0 /:2\\
\\
x^{5} + 3x^{3} - 4x = 0 \\
\\
x(x^{4} + 3x^{2} - 4) = 0}\)

Wprowadzamy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t = x^{2}}\) oczywiście założenie \(\displaystyle{ t \ge 0}\)

A więc \(\displaystyle{ \sqrt{t}(t^{2} + 3t - 4) = 0}\)

I teraz badasz liczbę rozwiązań równań: \(\displaystyle{ \sqrt{t} = 0}\) i kwadratowego \(\displaystyle{ t^{2} + 3t - 4 = 0}\). Później jak wyliczysz \(\displaystyle{ t}\) to podstawiasz \(\displaystyle{ t = x^{2}}\) i wyliczasz \(\displaystyle{ x}\).

[edith1423]

\(\displaystyle{ x\left( 2x ^{4}+6x ^{2} -8\right)=0}\)
Więc:
\(\displaystyle{ x=0 \vee 2x ^{4} +6x ^{2} -8 =0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} =t}\)
Założenie : \(\displaystyle{ t \ge 0}\)
Więc mamy:
\(\displaystyle{ 2t ^{2}+6t-8=0}\)

Liczysz deltę i pierwiastki i sprawdzasz, czy należą do dziedziny.

[Thoous]

dzięki, wielkie