Rozkła wielomianu na czynniki
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 30 paź 2006, o 22:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 4 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
Nie rozumiem treści zadania. Mianowicie: Zapisz jeden ze składników w postaci sumy dwóch jednomianów i rozłóż dany wielomian na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.
Czy mam tu zastosować twierdzenie Bezout?
\(\displaystyle{ x^{4}+3x^{3}+7x^{2}+6x+10}\)
Czy mam tu zastosować twierdzenie Bezout?
\(\displaystyle{ x^{4}+3x^{3}+7x^{2}+6x+10}\)
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
Fakt, że chcemy rozłożyć ten wielomian na czynniki stopnia co najwyżej drugiego możemy zapisać, jako \(\displaystyle{ x^4 +3x^3 +7x^2+6x+10=(x^2+bx+c)(x^2+dx+e)}\). Lewa strona równania jest równa \(\displaystyle{ x^4 +(d+b)x^3 +(e+bd+c)x^2 +(be+cd)x+ce}\). Rozwiązując odpowiednie równania dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ b=0,c=2, d=3,e=5}\), czyli \(\displaystyle{ x^4 +3x^3 +7x^2 +6x+10=(x^2+2)(x^2+3x+5)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 30 paź 2006, o 22:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 4 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
Coś te równania mi nie wychodzą. Jak je robiłeś? I co ja mam zrobić, gdy mam taki przykład?
\(\displaystyle{ x^{3}+3x^{2}+2x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+3x^{2}+2x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3393
- Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 466 razy
- Pomógł: 197 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
\(\displaystyle{ x^3-3x-2=(x-2)(x^2+2x+1)}\)
skorzystaliśmy z twierdzenia Bezout'a.
Szukamy, dzielników wyrazu wolnego i sprawdzamy czy są miejscami zerowymi wielomianu.
Tutaj sobie możesz jeszcze rozłożyć nawias na czynniki, rozwiązując równanie kwadratowe.
skorzystaliśmy z twierdzenia Bezout'a.
Szukamy, dzielników wyrazu wolnego i sprawdzamy czy są miejscami zerowymi wielomianu.
Tutaj sobie możesz jeszcze rozłożyć nawias na czynniki, rozwiązując równanie kwadratowe.
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
Co do tych równań, to ponieważ widzimy tutaj same liczby całkowite, możemy sobie założyć, że nasze szukane liczby też nimi są. Gdyby się to nie udało, to myślelibyśmy o wymiernych, a gdyby i to nie wypaliło, to o rzeczywistych. Skoro \(\displaystyle{ ce=10}\), to \(\displaystyle{ c=1, e=10}\) lub \(\displaystyle{ c=2, e=5}\) i wersje z ujemnymi. Wybierając drugą możliwość, to jest \(\displaystyle{ c=2, e=5}\) łatwo obliczamy pozostałe liczby i sprawdzamy, że w istocie otrzymujemy poprawny rozkład.
-
- Użytkownik
- Posty: 195
- Rejestracja: 30 paź 2006, o 22:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 4 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
A w takim przypadku?
\(\displaystyle{ x^{5}+2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-3x}\)
[ Dodano: 4 Marzec 2007, 17:53 ]
x przed nawias, tak?
[ Dodano: 4 Marzec 2007, 17:55 ]
i twierdzenie Bezout?
\(\displaystyle{ x^{5}+2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-3x}\)
[ Dodano: 4 Marzec 2007, 17:53 ]
x przed nawias, tak?
[ Dodano: 4 Marzec 2007, 17:55 ]
i twierdzenie Bezout?
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Rozkła wielomianu na czynniki
Tak
\(\displaystyle{ = x( x^4 +2x^3 +2x^2 -2x-3) = x( x^4 - x^2 + 2x^3 - 2x +3x^2 - 3) =\\
= x(x^2 - 1)(x^2 +2x+3) = x(x+1)(x-1)(x^2+2x+3)}\)
\(\displaystyle{ = x( x^4 +2x^3 +2x^2 -2x-3) = x( x^4 - x^2 + 2x^3 - 2x +3x^2 - 3) =\\
= x(x^2 - 1)(x^2 +2x+3) = x(x+1)(x-1)(x^2+2x+3)}\)