Dzielenie wielomianu

[independent]

Wykonaj dzielenie wielomianu:
\(\displaystyle{ (6x^3+13x^2+x-2):(x^2+2\frac{1}{2}x+1)}\)

Jakim wygodnym sposobem to można zrobić? Schematem Hornera chyba się nie da? ;p

[Funktor]

czy przy składniku \(\displaystyle{ 2 \frac{1}{2}}\) nie powinno być \(\displaystyle{ x}\) ?-- 27 lip 2012, o 22:05 --i po lewej stronie te wykładniki przy x też mi się nie podobają, albo dodać albo jeden zamienić na 3 ;]

[independent]

Już poprawiłem, na szybko przepisałem.

[Funktor]

Domyślam się że nie jest ci znany sposób dzielenia wielomianów analogiczny do dzielenia liczb pod kreską ?

[independent]

Tylko ten tak? Schematem Hornera nie mogę mieć kwadratu w dzielniku?

[edith1423]

Podziel to pisemnie, nie ma tragedii. Jeśli się nie mylę powinno wyjść \(\displaystyle{ 6x-2}\). Pozdrawiam.

-- 27 lip 2012, o 22:20 --

Tak, możesz dzielić za pomocą schematu Hornera tylko , jak masz do czynienia z dwumianem, np. \(\displaystyle{ x-5}\). Dzielenie zwykłe nie jest straszne.

[loitzl9006]

Jeżeli chcemy uniknąć dzielenia pisemnego, to możemy (na mocy twierdzenia o rozkładzie wielomianu) podzielić tak:

\(\displaystyle{ \frac{6x^3+13x^2+x-2}{x^2+2\frac{1}{2}x+1} =ax+b+ \frac{cx+d}{x^2+2\frac{1}{2}x+1}}\)

Wynik jest postaci \(\displaystyle{ ax+b}\) dlatego, bo stopień licznika jest o jeden większy niż stopień mianownika (lewa strona równania).

Reszta jest postaci \(\displaystyle{ cx+d}\) bo jest zasada która mówi, że stopień reszty jest co najmniej o jeden niższy niż stopień dzielnika (u nas dzielnikiem jest \(\displaystyle{ x^2+2\frac{1}{2}x+1}\) - wielomian stopnia drugiego). Zakładamy więc, że reszta będzie wielomianem stopnia pierwszego.

Mnożymy teraz powyższe równanie obustronnie razy \(\displaystyle{ x^2+2\frac{1}{2}x+1}\), wymnażamy \(\displaystyle{ \left( ax+b \right) \left( x^2+2\frac{1}{2}x+1 \right)}\) i porównujemy obie strony równania. Znajdziemy w ten sposób szukane \(\displaystyle{ a, \ b, \ c \ , d.}\)

[Lorek]

Hornerem też się da, pod warunkiem, że trójmian i wielomian mają przynajmniej jeden wspólny pierwiastek. Rozkładamy trójmian na iloczyn dwumianów i dzielimy przez każdy z nich (na początku przez ten ze wspólnym pierwiastkiem).