Trudny układ równań

[Adam51015]

Udowodnij, że trójki liczb \(\displaystyle{ (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)}\) są jedynymi rozwiązaniami układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2}=1 \\ x ^{3}+y ^{3}+z ^{3}=1\end{cases}}\)

[henryk pawlowski]

Rozważ unormowany wielomian stopnia trzeciego,którego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\), których trójka, czyli \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), stanowi rozwiązanie danego układu.Przydadzą się oczywiście wzory Viete'a dla znalezienia wspólczynników poszukiwanego wielomianu.

[mol_ksiazkowy]

są jedynymi rozwiązaniami układu równań

albo tozsamość \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 - 3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -(xy+yz+zx))}\)
tj któras z liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\) musi byc równa zero.

[Mariusz M]

Lewa strona tych równań to wielomiany symetryczne a w dodatku są to sumy potęg
więc korzystając ze wzorów Newtona wyrażasz je za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
Po wyznaczeniu wartości wielomianów symetrycznych podstawowych korzystasz ze wzorów Viete
i układasz równanie trzeciego stopnia a następnie rozwiązujesz je

[Adam51015]

Po wyznaczeniu wartości wielomianów symetrycznych podstawowych korzystasz ze wzorów Viete
i układasz równanie trzeciego stopnia a następnie rozwiązujesz je

Mógłbym prosić o wyjaśnienie tego?

[Marcinek665]

Wielomiany symetryczne w tym przypadku to \(\displaystyle{ x+y+z,}\) \(\displaystyle{ xy+yz+zx,}\) \(\displaystyle{ xyz.}\)

Z tożsamości:

\(\displaystyle{ (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2}\)

Mamy \(\displaystyle{ xy+yz+zx=0}\)

Z tożsamości:

\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 - 3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -(xy+yz+zx))}\)

Mamy \(\displaystyle{ xyz=0}\)

Możemy już teraz napisać, że co najmniej jedna liczba jest równa \(\displaystyle{ 0}\) i sprowadzić układ do układu z dwoma niewiadomymi, ale zróbmy standardowo. Układ teraz ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ xy+yz+zx=0 \\ xyz=0 \end{cases}}\)

Weźmy teraz wielomian unormowany, którego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ x,}\) \(\displaystyle{ y,}\) \(\displaystyle{ z}\). Ma on postać:

\(\displaystyle{ W(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz.}\)

Ale korzystając z układu możemy przepisać ten wielomian jako:

\(\displaystyle{ W(t)=t^3 - t^2=t^2(t-1)}\)

Skąd widać, że jego pierwiastkami (czyli liczbami \(\displaystyle{ x,y,z}\))są liczby \(\displaystyle{ 1,}\) \(\displaystyle{ 0,}\) \(\displaystyle{ 0}\).

[Mariusz M]

To co Marcinek665, podał to wielomiany symetryczne podstawowe
Po lewej stronie mamy sumy jednakowych potęg które także są wielomianami symetrycznymi
Ponieważ w tym przypadku mamy sumy potęg to możemy je wyrazić za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych korzystając ze wzorów Newtona

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf

[Marcinek665]

Oczywiście są to wielomiany symetryczne podstawowe, o czym zapomniałem wspomnieć. Na gg padło pytanie, w jaki sposób efektywnie można wyznaczyć dowolny wielomian symetryczny w zależności od nich. Dość znaną tożsamością, jeśli chodzi o sumy potęgowe, jest:

\(\displaystyle{ x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3} = (x+y+z)(x^{n+2}+y^{n+2}+z^{n+2}) - (xy+yz+zx)(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1}) + xyz(x^n + y^n + z^n)}\)

Wstawiając do niej odpowiednie wartości \(\displaystyle{ n}\), możemy zejść z dowolnej sumy potęgowej do sum co najwyżej trzeciego stopnia, które już można w prosty sposób rozłożyć ręcznie. Oczywiście, wzór ten jest dla trzech zmiennych, ale został wyprowadzony z "maszynki", która daje pożądany efekt również przy większej ilości zmiennych. Chodzi tutaj mianowicie o wielomian charakterystyczny, tym wypadku \(\displaystyle{ V(t)=(t-x)(t-y)(t-z)}\)

Jeśli chodzi o dowolny wielomian symetryczny, to niestety chyba poza zgadywaniem nie ma efektywnego sposobu.

[Adam51015]

Rozumiem rozwiązanie Marcinka665. Tylko czytając odpowiedzi innych użytkowników pojawiły się u mnie dwa pytania:
1. Gdzie stosuje się tutaj wzory Vieta'a dla wyznaczenia współczynników wielomianu?
2. Jak lewą stronę równania wyrażam za pomocą elementarnych wielomianów symetrycznych stosując wzory Newtona? Bo ja znam tylko wzory \(\displaystyle{ a^{n}+ b^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ a^{n}- b^{n}}\).

[Mariusz M]

Wzory Viete stosujesz gdy już masz wielomian symetryczny przedstawiony za pomocą
wielomianów symetrycznych podstawowych
To co ty przytoczyłeś to dwumian Newtona , gdyby się uparł to tym też można
Mnie chodziło o te wzory które wyprowadzasz różniczkując postać iloczynową
Zajrzyj do tego pdf którego podałem

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf

Tutaj jest napisane jak wyprowadzić wzory Newtona


Ja znam taki algorytm

Szukamy jednomianu o najwyższym stopniu
(jeżeli jest kilka takich to uwzględniamy porządek leksykograficzny)
Patrzymy jakie wielomiany symetryczne podstawowe pomnożyć aby uzyskać dany jednomian
a następnie odejmujmy iloczyn tych wielomianów symetrycznych podstawowych od wyjściowego
wielomianu
Z otrzymanym wielomianem postępujemy podobnie aż do uzyskania wielomianu zerowego

Ten sposób dobry jest dla wielomianów małego stopnia dla dużych stopni nie jest zbyt efektywny

Dla sumy jednakowych potęg można podać
funkcję tworzącą , funkcję rekurencyjną i wzór wyznacznikowy
BettyBoo napisała że dla każdego wielomianu symetrycznego
można napisać układ równań a tym samym dostać wzór wyznacznikowy
jednak nie chciała podzielić się szczegółami a teraz się nie loguje
Ech to forum schodzi na psy miodziów przybywa ludzi którzy mogliby pomóc ubywa