Współczynniki wielomianu

[stanley12]

1.Jaki warunek muszą spełnić współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(\displaystyle{ w(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\) tak aby dla dowolnego argumentu \(\displaystyle{ x \in R}\) zachodziła równość \(\displaystyle{ w(x)+w(-x)=0}\) ?

Czy poprawna odpowiedź, to gdy wszystkie będą równe \(\displaystyle{ 0}\) ?

2.Wykaż, że jeśli dla dowolnego argumentu \(\displaystyle{ x \in R}\) wielomian w spełnia warunek \(\displaystyle{ w(x)=w(-x)}\) to wielomian ten nie może byc welomianem trzeciego stopnia.

Za drugie, to nie wiem jak się zabrać.

[piasek101]

1) Nie - bo Ci trzeci stopień ,,wyparuje".

Oba w zasadzie podobnie - wstaw dowolne wielomiany trzeciego stopnia do danych zależności i ,,licz".

[stanley12]

Jak mam wielomian:

\(\displaystyle{ W(x)=x^3+2x^2-x+2}\)
To a) \(\displaystyle{ W(-x)=-x^3-2x^2+x+2}\)
b) \(\displaystyle{ W(-x)=-x^3+2x^2+x+2}\)
Która odpowiedź jest prawidłowa?

Moim zdaniem druga. Wtedy by było, że musi być warunek \(\displaystyle{ b=-b}\) i \(\displaystyle{ d=-d}\)

[piasek101]

Wielomian masz podany - ogólnie - w zadaniu - nie możesz rozpatrywać pojedynczego przypadku.

Z założenia (trzeci stopień) mamy \(\displaystyle{ a\neq 0}\).

I patrzymy kiedy zajdzie \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d+a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d=0}\)

[stanley12]

\(\displaystyle{ 2x^2b+2d=0}\) To jest dziwne jakieś. Przecież tego się nie da rozwiązać. Bo \(\displaystyle{ x^2b+d=0}\) i mam równanie zależne od \(\displaystyle{ x}\), a w poleceniu jest dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)

[piasek101]

No i kombinujesz jakie mają być współczynniki \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ d}\) aby to zawsze było zerowe (nie zapomnij o \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ c}\)).

[Ponewor]

2. Każdą funkcję można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Zrób to

[stanley12]

Współczynniki \(\displaystyle{ a,c}\) mają być w obydwu wielomianach takie same (chodzi mi że \(\displaystyle{ a=a}\) i \(\displaystyle{ c=c}\)), przy czym \(\displaystyle{ a \neq 0}\).
Natomiast \(\displaystyle{ b,d}\) muszą być równe \(\displaystyle{ 0}\)

To dobrze jest?

[piasek101]

1) Ale w zadaniu masz tylko jeden wielomian (w wersji ogólnej).

Więc jest jedno (a); jedno (b) itd.

[stanley12]

no to \(\displaystyle{ a\neq0}\) \(\displaystyle{ c}\) dowolne, oraz \(\displaystyle{ b=d=0}\) ?

\(\displaystyle{ a \in R \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ a \in R}\)
\(\displaystyle{ b=d=0}\)

[piasek101]

No i gra.

Co do (2) to możesz wykorzystać to co w (1) - bardziej uogólnione.

[stanley12]

2. Każdą funkcję można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Zrób to

Funkcja jest parzysta, gdy: \(\displaystyle{ f(x)=f(-x) \Leftrightarrow f(x)-f(-x) =0}\)
Funkcja jest nieparzysta, gdy: \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x) \Leftrightarrow f(-x)+f(x)=0}\)

\(\displaystyle{ f(x)-f(-x)+f(-x)+f(x)=2f(x)}\) bzdura bo \(\displaystyle{ 2sinx}\) nie jest f. parzystą.
Nie wiem gdzie w tym rozumowaniu jest błąd.

Piasek:

Wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ ax^3+cx=0}\)

[piasek101]

2) Wielomiany to funkcje typu \(\displaystyle{ W(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...........+a_1 x +a_0}\); zatem o sinusie zapomnij.

Co do zadania.
Załóż, że jest trzeciego stopnia i wykaż nieprawdziwość równania \(\displaystyle{ W(x)=W(-x)}\).

[stanley12]

Wiem że sinus nie jest,ale myslalem ze przeprowadzam warunek że każdą funkcje parzystą można w ten sposób przedstawić, ale nie doczytałem ze zmęczenia.

\(\displaystyle{ ax^3+cx=-ax^3-cx}\)
\(\displaystyle{ ax^3+cx\neq-ax^3-cx}\)
I tyle?

[piasek101]

Trzeba wyjaśnić dlaczego nie jest równe - nie możesz tak przeskakiwać od równania do jego ,,przekreślenia".