Niech wielomian \(\displaystyle{ f\in \mathbb R [x]}\), niech \(\displaystyle{ c_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,n}\) będą jego pierwiastkami. Wówczas korzystając z wniosku z zasadniczego tw algebry wielomian ten możemy przedstaqwić w postaci:
\(\displaystyle{ f(x)= \prod_{i=1}^{n}(x-c_i)^{m_i} \cdot g(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ g(x)}\) to trójmiany kwadratowe które nie mają miejsc zerowych w \(\displaystyle{ \mathbb R}\).
Zatem \(\displaystyle{ g(x)}\) przyjmuje stały znak na całej osi \(\displaystyle{ \mathbb R}\).
Przyjmimy ze \(\displaystyle{ g(x)>0}\)dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\).
Rozważmy funkcje występujące w rozkładzie wielomianu \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} L_i(x):=(x-c_i)^{m_i} \\ l_i:=x-c_i \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ i=1,2,..., n.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ l_i(x)}\) zmienia znak w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) to \(\displaystyle{ c_i \in (a,b)}\) i mamy \(\displaystyle{ l_i(a)<0<l_i(b)}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ L_i(x)}\) zmienia znak w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) wtedy i tylko wtedy gdy w tym przedziale zmienia znak \(\displaystyle{ l_i(x)}\) i gdy \(\displaystyle{ m_i}\) jest liczbą nieparzystą.
Dlaczego musi być liczbą nieparzystą?-- 16 lip 2012, o 18:25 --o rany...bo jak jest parzysta potęga to wykres funkcji się odbija a jak nieparzysta to przecina oś.....heh...to już sobie wyjaśniłam
rozkład wielomianu
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
rozkład wielomianu
Niech \(\displaystyle{ m_i}\) będzie parzysta, wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ x<c_i}\) jest \(\displaystyle{ L_i(x)>0}\), a dla dowolnego \(\displaystyle{ x>c_i}\) również \(\displaystyle{ L_i(x)>0}\),
ponieważ wtedy jest \(\displaystyle{ L_i(x)=((x-c_i)^k)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ m_i=2k,\ k\in \ZZ}\), a kwadrat dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest dodatni.
Dla \(\displaystyle{ m_i=2k+1}\) ( dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ k}\)) mamy \(\displaystyle{ L_i(x)=(x-c_i)^{2k+1}=((x-c_i)^{k})^2(x-c_i)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x-c_i}\) zmienia znak to i \(\displaystyle{ L_i(x)}\) także.
ponieważ wtedy jest \(\displaystyle{ L_i(x)=((x-c_i)^k)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ m_i=2k,\ k\in \ZZ}\), a kwadrat dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest dodatni.
Dla \(\displaystyle{ m_i=2k+1}\) ( dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ k}\)) mamy \(\displaystyle{ L_i(x)=(x-c_i)^{2k+1}=((x-c_i)^{k})^2(x-c_i)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x-c_i}\) zmienia znak to i \(\displaystyle{ L_i(x)}\) także.