Rozwiązywanie nierówności wielomianowych - dowód algorytmu

[tranto]

W jaki sposób dowodzi się poprawności algorytmu rozwiązywania nierówności wielomianowych (przedstawionego np. )?
Podręczniki szkolne nie dają satysfakcjonującej odpowiedzi.

[Ponewor]

No przecież ten algorytm polega na odczytaniu rezultatu z wykresu. Cóż tu dowodzić? Jak masz poprawnie narysowany wykres to w czym problem?

Jeśli problemem jest dlaczego tak się rysuje wykres, a nie inaczej, to może tu znajdziesz odpowiedź:
https://www.matematyka.pl/227339.htm

[tranto]

Interesuje mnie ścisły, rygorystyczny dowód poprawności, a nie tylko intuicje.

[Ponewor]

Jak masz poprawnie narysowany wykres to w czym problem? Rozwiązanie graficzne to też rozwiązanie. Ale niech będzie. Spróbujemy.


\(\displaystyle{ W(x)= \sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k}}\)

\(\displaystyle{ W(x_{1})=0 \ \wedge \ W(x_{2})=0 \ \wedge \ x_{1} < x_{2} \ \wedge \ \neg \bigvee _{x_{3} \in (x_{1}, x_{2})} W(x_{3}) = 0}\)

Udowodnimy, że: \(\displaystyle{ W(x_{3}) > 0 \Rightarrow \bigwedge _{x_{4} \in (x_{1}, x_{3})} W(x_{4})>0}\)

Załóżmy wbrew tezie, że \(\displaystyle{ W(x_{4}) < 0}\), wtedy z twierdzenia Darboux wynika, że \(\displaystyle{ \bigvee _{x_{5} \in (x_{4}, x_{5})} W(x_{5})=0}\)
co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ \neg \bigvee _{x_{3} \in (x_{1}, x_{2})} W(x_{3}) = 0}\)

Resztę możesz już sobie sam łatwo i analogicznie dowieść.

[norwimaj]

Jak masz poprawnie narysowany wykres to w czym problem?

W udowodnieniu, że wykres jest narysowany poprawnie.

Zasadniczo chodzi tu o to, że iloczyn dwóch liczb dodatnich/ujemnych jest liczbą dodatnią a iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną. Stąd wynika, że iloczyn \(\displaystyle{ n}\) czynników, z których \(\displaystyle{ k}\) jest dodatnich a \(\displaystyle{ n-k}\) ujemnych, jest dodatni dla \(\displaystyle{ n-k}\) parzystego a ujemny dla \(\displaystyle{ n-k}\) nieparzystego.

[Ponewor]

A właśnie w linku, który podałem jest cuś na ten temat, choć w inny sposób