monotoniczność wielomianu

[wisnia80]

Dlaczego w dowolnym wielomianie, gdy weźmiemy dwa kolejne pierwiastki tego wielomianu to najpierw przechodząc przez pierwszy pierwiastek funkcja musi rosnąć,a później przechodząc przez drugi musi maleć i na odwrót, najpierw maleć a później rosnąć? z czego to wynika? Nasuwa mi się twierdzenie Dorboux, ale nie umiem togo stosownie przełożyć na język matematyki...wszystko to wydaje się bardzo intuicyjne i "normalne" ale muszę to stosownie uzasadnić...
Wiemy, że między dwoma pierwiastkami wielomian ma stały znak...no i co?

[bartek118]

No właśnie, ma stały znak. Czyli jeśli najpierw funkcja rosła, to ten znak jest dodatni, żeby zatem z tego znaku mogła wartość spaść do 0, to funkcja na pewnym otoczeniu drugiego pierwiastka musi maleć. Formalnie, to policz pochodną i zbadaj przebieg tego wielomianu przy jej pomocy.

[wisnia80]

tyle, że nie mam konkretnego wielomianu wiec nie bardzo sobie mogę obliczyć, potrzebuję to do dowodu twierdzenia więc cały czas operuję na symbolach

[Majeskas]

To wynika z twierdzenia Rolle'a.

[bartek118]

Z twierdzenia Rolle'a wynika, że jest tam przynajmniej jeden punkt zerowania się pochodnej, co nie oznacza, że jedyny. (W połączeniu z policzeniem pochodnej da już to rozwiązanie - między każdymi kolejnymi miejscami zerowymi twierdzenie Rolle'a mówi, że pochodna się przynajmniej raz tam zeruje, ale jakiego stopnia jest pochodna tego wielomianu? )

[wisnia80]

hmmm....odpowiedź jaką uzyslałam jako prawidłowe rozwiązanie brzmi:
"Niech, że \(\displaystyle{ \varphi \in \mathbb R [x]}\) oraz \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) będą dwoma kolejnymi pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ \varphi}\) takie, że \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in \mathbb R}\) oraz \(\displaystyle{ x_1<x_2}\) Wielomian jest funkcją ciągłą, między kolejnymi pierwiastkami wielomian \(\displaystyle{ \varphi}\) ma stały znak. Możliwe sa dwa przypadki:

1. dla \(\displaystyle{ x\in(x_1,x_2), \varphi (x)>0}\),
2. dla \(\displaystyle{ x\in(x_1,x_2), \varphi (x)<0}\).

Ad 1. Funkcja \(\displaystyle{ \varphi}\) musi być rosnąca w pewnym przedziale \(\displaystyle{ U_1}\) zawartym w \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) oraz malejąca w przedziale \(\displaystyle{ U_2}\) zawartym w przedziale \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\). Z kursu analizy wiemy, że w tych przedziałach pochodna \(\displaystyle{ \varphi '}\)jest odpowiednio dodatnia i ujemna"
Więc jednak nie potrzeba było się doszukiwać tego tak dokładnie jak myślałam, ale dziękuje.