wielomiany 3 zadania:

[greey10]

1)znajdz te wartosci a, dla ktorych rownianie \(\displaystyle{ x^{3}+\frac{48}{x}=a}\) ma rozwiazanie.


2) wykaz, ze rownianie \(\displaystyle{ x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1=0}\) nie ma rozwiazan w zbiorze liczb rzeczywistych.


3) dla jakich a rownianie \(\displaystyle{ \frac{a(x+2)+1}{x-3}=5}\) ma rozwiazanie x>2?


zgory dziekuje za pomoc:

[max]

2.
Z własności funkcji wykładniczej:

dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x \in (-\infty, - 1) \cup (1,+\infty)}\) mamy
\(\displaystyle{ x^{8} > x^{6}}\)
i
\(\displaystyle{ x^{4} > x^{2}}\),

a dla \(\displaystyle{ x\in (-1,0)\cup (0, 1)}\) jest:
\(\displaystyle{ x^{4} > x^{6}\\
1 > x^{2}}\)


No i dla \(\displaystyle{ x\in \{-1, 0 , 1\}}\) równość nie zachodzi, więc mamy dla \(\displaystyle{ x \mathbb{R}}\) (łącząc powyższe przypadki)
\(\displaystyle{ x^{8} - x^{6} + x^{4} - x^{2} + 1 0}\)

[greey10]

Dzieki

[mat1989]

w 3 założenie że x różne od 3, mnożę przez mianownik. potem porządkuje i f(1)0. a gdy a0.
Myślę że takim sposobem się to będzie dało rozwiązać.

[greey10]

heh czyli trzeba zbadac na przedzialach tak jak wczensiej?

[ Dodano: 28 Luty 2007, 17:40 ]
mat1989 mozesz dokonczyc swoja mysl dlaczego badamy f(1)>0

[max]

1. \(\displaystyle{ a (-\infty,-32\rangle \cup \langle 32, +\infty)}\)
Wyznacz (np analitycznie) zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ y = x^{3} + \frac{48}{x}}\)

edit. zjadłem przecinek

[Tristan]

Ad 2:
Można też troszkę pogrupować, a otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^8 -x^6 + x^4 -x^2 +1=0 \\ x^8 -x^6 + \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{2} x^4 - x^2 +1=0 \\ \frac{1}{2} x^4 (2x^4 - 2x^2 +1) + \frac{1}{2} ( x^4 - 2x^2 +2)=0}\)
Łatwo sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymamy sprzeczność. Zakładając więc, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ x^4 >0}\). Teraz już kilkusekundowe rachunki sprawdzające, że wyróżniki wyrażeń dwukwadratowych w nawiasach są mniejsze od zera, czyli wyrażenie po lewej stronie jest większe od zera, więc dla \(\displaystyle{ x \mathbb{R}}\) równość w istocie nie zachodzi.

[mat1989]

Tristan, mógłbyś sprawdzić może to moje 2 rozwiązanie, bo nie jestem za bardzo pewien.

[Tristan]

Mówiąc szczerze, to nie wiem o co chodzi z tym badaniem f(1). Dochodzimy do równania \(\displaystyle{ (a-5) x +2a+16=0}\). Dla \(\displaystyle{ a \neq 5}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x=\frac{-(2a+16)}{a-5}}\)i mamy do rozwiązania nierówność \(\displaystyle{ \frac{-(2a+16)}{a-5} >2}\).

[mat1989]

a no tak, najprostsze metody są najlepsze tylko w takim razie w liczniku będą składniki z minusami.
ok, już poprawiłeś

[greey10]

gush no tak ;D przepraszam ze zasmeicam forum takimi pierdolami jak zadanie 3

a tak wracajac do 1, to sory ale nadal nie rozumiem mozna krok po kroku jak dla debila czasem sie czlowiek zacina i nic po prostu nie dociera....

[max]

Niech
\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + \frac{48}{x},\ x\neq 0}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty\\
\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty\\
f'(x) = 3x^{2} - \frac{48}{x^{2}} = \frac{3x^{4}-48}{x^{2}}, \ x 0\\
f'(x) = 0 \iff x = -2 \ \ x = 2\\
f'(x) < 0 \iff x \in (-2, 0) \cup (0, 2)\\
f'(x) > 0 \iff x (-\infty, - 2) \cup (2, +\infty)}\)
Maksimum lokalne \(\displaystyle{ f(-2) = -32}\)
minimum lokalne \(\displaystyle{ f(2) = 32}\)

I na podstawie ciągłości i monotoniczności funkcji w odpowiednich przedziałach, mamy zbiór wartości:
\(\displaystyle{ (-\infty, -32\rangle \cup \langle 32, +\infty)}\)

Czyli równanie:
\(\displaystyle{ f(x) = a}\)
ma rozwiązania dla \(\displaystyle{ a (-\infty, -32\rangle \cup \langle 32, +\infty)}\)