Sprawdzenie i poprawa kilku zadań

[snooks]

Prosiłbym o sprawdzenie, poprawienie błędów.

Zadanie 1. Wyznacz wartość wielomianu: \(\displaystyle{ w(x) = -2x^{3} + x^{2} - 4x + 1}\) dla \(\displaystyle{ x= -3}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ w(x) = -2(-3)^{3} + (-3)^{2} - 4(-3) + 1}\)
\(\displaystyle{ w(x) = -2(-27) + 9 + 12 + 1}\)
\(\displaystyle{ w(x) = 54 + 9 + 12 + 1 = 76}\)
Odpowiedź: \(\displaystyle{ w(x) = 76}\)

Zadanie 2. Uporządkuj wielomiany \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ w}\). Wyznasz sumę \(\displaystyle{ u + w}\) i różnicę \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ w}\).
\(\displaystyle{ u(x) = x^{3} - x + 2x^{4} - 1}\)
\(\displaystyle{ w(x) = 4 - x^{3} + 3x^{2} + x^{4}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ u(x) = 2x^{4} + x^{3} - x - 1}\)
\(\displaystyle{ w(x) = x^{4} - x^{3} + 3x^{2} + 4}\)

Suma: \(\displaystyle{ 2x^{4} + x^{3} - x - 1 + x^{4} - x^{3} + 3x^{2} + 4 =}\)
\(\displaystyle{ 3x^{4} + 3x^{2} - x + 3}\)

Różnica: \(\displaystyle{ (2x^{4} + x^{3} - x - 1) - (x^{4} - x^{3} + 3x^{2} + 4) =}\)
\(\displaystyle{ x^{4} + 3x^{2} - x + 3}\)

[lightinside]

Pierwsze dobrze reszte jeszcze czytam;)

-- 18 cze 2012, o 12:41 --

Suma i uporządkowanie ok;)

-- 18 cze 2012, o 12:43 --

zapomniałeś o znaku =

-- 18 cze 2012, o 12:44 --

pisz nawiasy, bo może być przez to błąd szczególnie przy odejmowaniu-- 18 cze 2012, o 12:47 --i go masz...

napisz te wielomiany w nawiasach i między nimi różnice

[snooks]

Dałem nawiasy i teraz się znak zmieni w drugim nawiasie tak?

\(\displaystyle{ (2x^{4} + x^{3} - x - 1) - (x^{4} - x^{3} + 3x^{2} + 4) =}\)
\(\displaystyle{ (2x^{4} + x^{3} - x - 1) - x^{4} + x^{3} - 3x^{2} - 4 =}\)
\(\displaystyle{ x^{4} + 2x^{3} - 3x^{2} - 5}\)

[lightinside]

Słuchaj... a gdzie Ci \(\displaystyle{ x}\) zniknął? a raczej \(\displaystyle{ -x}\)

[snooks]

faktycznie, czyli rozwiązaniem będzie: \(\displaystyle{ x^{4} + 2x^{3} - 3x^{2} - x - 5}\) ?

[lightinside]

hm.... dokładnie

[snooks]

Super, to następne zadanie prosiłbym o sprawdzenie:

Zadanie 3: Rozłóż wielomian na czynniki

a) \(\displaystyle{ w(x) = 6x^{5} + 9x^{4}}\)
\(\displaystyle{ w(x) = 3x^{4}(2x + 3)}\)

b) \(\displaystyle{ w(x) = x^{4} - 5x^{3} + 6x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2} - 5x + 6)}\)

c) \(\displaystyle{ w(x)5x^{3} + 10x^{2} + x +2}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2}(x+2) + (x+2)}\)
\(\displaystyle{ (x+2) + 5x^{2} + 1}\)
\(\displaystyle{ x = - 2}\) i dalej nie wiem..

d) \(\displaystyle{ w(x) = x^{3} – 2x^{2} – 9x + 18}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-2) – 9(x+2)}\)
\(\displaystyle{ (x-2) + x^{2} – 9}\)
\(\displaystyle{ x = 2}\)
\(\displaystyle{ x^{2} – 9 = 3}\)

e) \(\displaystyle{ w(x) = x^{5} – 6x^{3} + 9x}\)
\(\displaystyle{ x(x^{4} - 6x^{2} + 9}\)

[major37]

Była funkcja kwadratowa ? Liczenie Delty, pierwiastków itp ?

[snooks]

Niby było, ale jakoś się nie przykładałem do tego.
Cały czas mi się myli zadanie: Rozłóż na czynniki z Rozwiąż równanie,
nigdy nie wiem co mam w którym liczyć, czy deltę się liczy w rozkładzie czy w rozwiązywaniu.

[major37]

Pokaże Ci na tym przykładzie \(\displaystyle{ f(x)=x ^{2}-5x+6}\) to jest postać kwadratowa i jeżeli mamy rozwiązać to równanie to trzeba znaleźć miejsca zerowe czyli pierwiastki tego równania a więc przyrównujemy to do zera i liczymy pierwiastki zgodnie z schematem rozwiązywania równań kwadratowych. A jeżeli mamy to rozłożyć na czynniki to wystarczy dojść do postaci iloczynowej czyli \(\displaystyle{ f(x)=(x-3)(x-2)}\). Może nie jest to dobry przykład bo żeby dojść do postaci iloczynowej to najłatwiej rozwiązać to równanie i wtedy \(\displaystyle{ x=3 \vee x=2}\) i wtedy się zapisuje postać iloczynową można to też rozłożyć po prostu tak patrzysz że mamy samo \(\displaystyle{ x ^{2}}\) a więc będzie \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)}\) widzisz że ostatni wyraz to 6 więc może być a=6 b=1 lub a=3 b=2 i patrzysz które Ci pasuje. Więc jeżeli jest rozwiąż równanie to podajesz ile są równe Twoje iksy.

-- 18 cze 2012, o 15:13 --

Oczywiście można jeszcze inne sposoby jak wymnożyć \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)}\) i ułożyć odpowiedni układ równań lub korzystać z wzorów vieta.

[snooks]

Nie specjalnie zrozumiałem to co mi napisałeś, ale trochę ogarnąłem i czy teraz będzie poprawnie?

a) \(\displaystyle{ w(x) = 6x^{5} + 9x^{4}}\)
\(\displaystyle{ w(x) = 3x^{4}(2x + 3)}\)

b) \(\displaystyle{ w(x) = x^{4} - 5x^{3} + 6x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x^{2}-5x + 6)}\)

c) \(\displaystyle{ w(x) = 5x^{3} + 10x^{2} + x +2}\)
\(\displaystyle{ 5x^{2}(x+2) + (x+2)}\)
\(\displaystyle{ (x+2)(5x^{2} + 1)}\)


d) \(\displaystyle{ w(x) = x^{3} - 2x^{2} - 9x + 18}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-2) - 9(x+2)}\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x^{2}-9)}\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x-3)(x+3)}\)


e)\(\displaystyle{ w(x) = x^{5} - 6x^{3} + 9x}\)
\(\displaystyle{ x(x^{4} - 6x^{2} + 9)}\)

[loitzl9006]

a), b), c), e) jest poprawnie,

d) jest źle, w drugiej linijce masz błąd

\(\displaystyle{ x^{2}(x-2) - 9(x-2)}\)

w związku z tym już dalsze obliczenia są niepoprawne.

Jeżeli polecenie do zadania brzmi "Rozłóż wielomian na czynniki" to moim zdaniem niekonieczne jest rozbijanie na iloczyny wielomianów jak najniższego stopnia.