Dziwny wielomian

[Robertolog]

Wymyśliłem sobie taki oto wielomian \(\displaystyle{ x^{ \frac{3}{2} }+2 x^{ \frac{1}{3} }=4}\) i teraz głowię się jak go rozwiązać. Najpierw próbowałem pozbyć się potęg ułamkowych oraz podstawiłem za \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{3} }=t}\). Wyszedł mi taki wielomian \(\displaystyle{ t^{9}-4 t^{2}+16t-16=0}\). Dalej niestety nie wiem jak postępować. Postaci iloczynowej zrobić nie idzie. Podstawić też nie ma za bardzo za co. Wynik powinien wyjść ok 1,44. Dziękuję za wszelką pomoc.

[Qń]

Wymyśliłem sobie taki oto wielomian \(\displaystyle{ x^{ \frac{3}{2} }+2 x^{ \frac{1}{3} }=4}\)

To nie jest wielomian, tylko równanie. I to równanie nie jest absolutnie wielomianowe, chodź da się do takiego sprowadzić stosownym podstawieniem, którym nie jest jednak:

\(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{3} }=t}\)

tylko:
\(\displaystyle{ x^{\frac 16}=t}\),
po którym w żadnym razie nie wychodzi równanie:

\(\displaystyle{ t^{9}-4 t^{2}+16t-16=0}\)

...tylko:
\(\displaystyle{ t^9+2t^2-4=0}\)

Dalej niestety nie wiem jak postępować.

Nie ma ogólnych metod na rozwiązywanie równań wielomianowych stopnia większego niż cztery - to . W tym wypadku można podać jedynie przybliżone rozwiązanie.

Q.

[Robertolog]

Ja robiłem troszkę inaczej:
\(\displaystyle{ x^{ \frac{3}{2} }=4- x^{\frac{1}{3}}}\) <- obustronnie podnoszę do potęgi 2
\(\displaystyle{ x^{3}= 2^{2} (2- x^{\frac{1}{3} })^{2}}\) <- dalej porządkowałem strony
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3} }{4}=4-4x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}-16 }{4}= x^{ \frac{1}{3} }(x^{ \frac{1}{3} }-4)}\) <- za \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{3} }}\) wstawiam \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ \frac{ t^{9}-16 }{4} =t(t-4)}\) <- po uporządkowaniu
\(\displaystyle{ t^{9}-4t^{2}+16t-16=0}\)

Chyba wszystko dobrze zrobiłem w tych przekształceniach. Ponadto jeśli nie jest to równanie wielomianowe to jak je nazwać (chciałbym wiedzieć na przyszłość)? Jak to zadanie rozwiązać metodą Newtona (chyba w tej metodzie można otrzymać przybliżony wynik tej funkcji)?