Ilość pierwiastków wielomianu

[Namarie]

Witam!
Mam problem z zadaniem o treści:

Niech P będzie wielomianem stopnia 8 o współczynnikach rzeczywistych którego - dla wszystkich argumentów rzeczywistych - druga pochodna jest dodatnia. Czy wynika stąd, że:
a) P ma co najmniej 2 pierwiastki zespolone nierzeczywiste
b) P ma co najwyżej 2 pierwiastki rzeczywiste
c) P ma co najmniej 2 pierwiastki rzeczywiste
d) P ma dokładnie 2 pierwiastki rzeczywiste


Proszę o pomoc

[leapi]

zapiszmy sobie ten wielomian

\(\displaystyle{ W(x)=a_8x^8+a_7x^7+...+a_1x+a_0}\)

\(\displaystyle{ W^{\prime}(x)=8a_8x^7+7a_7x^6+6a_6x^5+...+2a_2x+a_1}\)

\(\displaystyle{ W^{\prime\prime}(x)=8\cdot 7a_8x^6+7\cdot 6a_7 x^5+6\cdot 5a_6x^4+5\cdot 4a_5 x^3+4\cdot 3a_4 x^2+3\cdot 2 a_3x+2\cdot 1a_2>0}\)

dowolny wielomian stopnia \(\displaystyle{ 6}\)

zapiszmy jako
\(\displaystyle{ b_6x^6+b_5x^5+...+b_0}\)
jest stale dodatni czyli można go rozpisać jako iloczyn trzech trójmianów kwadratowych o ujemnych wyróżnikach

\(\displaystyle{ b^6(x^2+c_1x+d_1)(x^2+c_2x+d_2)(x^2+c_3x+d_3)}\)

diatego ma nie ma pierwiastków rzeczywistych tylko zespolone i to w ilość \(\displaystyle{ 6}\)

zaznaczasz odp a

[Namarie]

Odpowiedzi są takie:
a) Tak
b) Tak
c) Nie
d) Nie

To nie jest test jednokrotnego wyboru. Nie rozumiem, czemu wyznaczniki muszą być ujemne?

[leapi]

już wiem
\(\displaystyle{ P(x)}\) dzielone przez \(\displaystyle{ P^{''}(x)}\)
istnieje \(\displaystyle{ Q(x)}\)
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x)P^{''}(x)+ax^2+bx+c}\)

i teraz tak jeżeli \(\displaystyle{ P(x_0)=0}\)
to\(\displaystyle{ P(x)=Q(x_0)P^{''}(x_0)+ax_0^2+bx_0+c}\)
wartość \(\displaystyle{ P^{''}(x_0)\ne}\) bo \(\displaystyle{ P^{''}}\)nie ma pierwsitków

stąd \(\displaystyle{ P}\) może mieć tyle pierwiastków, ile pierwistków ma trójmian kwadratowy.

[Namarie]

ok, dziękuję!