Wykazywanie prawdziwości rozwiązania

[Szab]

Dzień dobry. Mam takie oto zadanie:

Wykaż, że jedynymi rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ x^{5} - 2x^{4} + 2x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1 = 0}\) jest liczba 1.

Próbowałem się do tego zabrać z Twierdzenia Bezouta i udowadniać to szukając pierwiastków wymiernych ale wtedy doszedłem do wniosku, że przecież liczby niewymierne też mogłyby być rozwiązaniem takiego cuda. Czy mógłby mi ktoś pomóc?

[silicium2002]

EDIT: to chyba jednak tak prosto nie idzie.

Podziel przez (x-1) i dostaniesz wielomian czwartego stopnia,a potem wykorzystaj pochodne zobaczysz jaki przebieg ma funkcja i sprawdzisz lokalne minima, jak wyjdą ci że są dodatnie to znaczy że funkcja nie ma miejsc zerowych.

[Szab]

Em. W szkole średniej nie ma analizy wiec pochodne, minima, całki nie wchodzą w gre :/

[Marcinek665]

To jest równoważne:

\(\displaystyle{ (x-1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) = 0}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \neq 1}\) i podzielmy wnętrze nawiasu przez \(\displaystyle{ x^2}\) otrzymując:

\(\displaystyle{ x^2 - x + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0}\)

Podstawmy \(\displaystyle{ t= x + \frac{1}{x}}\) i uszeregujmy jakoś fajnie te liczby:

\(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} - \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0}\)

Ale \(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x+ \frac{1}{x}\right)^2 - 2}\), więc mamy:

\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x}\right)^2 - 2 - \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x}\right)^2 - \left(x + \frac{1}{x}\right) - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ t^2 - t - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})}\) lub \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})}\)

Pokazanie, że równania \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})}\) oraz \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{5})}\) nie mają rozwiązań w liczbach rzeczywistych pozostawiam jako proste ćwiczenie.