Reszta z dzielenia wielomianów - trudne

[YyyYYyyyY]

Jak wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) przez \(\displaystyle{ x^4-4x^2+4}\)?

[lukasz1804]

Reszta musi być wielomianem stopnia co najwyżej trzeciego, więc musi być postaci \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{R}}\).

Zauważ ponadto, że \(\displaystyle{ x^4-4x^2+4=(x+\sqrt{2})^2(x-\sqrt{2})^2}\).

Co ważniejsze, zauważ także, że wartości wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{2}}\) są równe odpowiednio wartościom wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) dla tych argumentów oraz wartości pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{2}}\) są równe odpowiednio wartościom pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) dla tych argumentów.

[YyyYYyyyY]

Brakowało mi tej równości pochodnych... z czego ona wynika? bo chyba tego nie widzę

[lukasz1804]

Wynika ona wprost z różniczkowania stronami równości powstałej po zastosowaniu twierdzenia o dzieleniu wielomianów, tj. \(\displaystyle{ x^{100}+99=P(x)(x^4-4x^2+4)+ax^3+bx^2+cx+d}\).

[norwimaj]

W tym przykładzie ponadto można sobie uprościć życie podstawiając \(\displaystyle{ x^2=t}\).