Reszta z dzielenia wielomianów - trudne
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 19 lis 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 43 razy
Reszta z dzielenia wielomianów - trudne
Jak wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) przez \(\displaystyle{ x^4-4x^2+4}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Reszta z dzielenia wielomianów - trudne
Reszta musi być wielomianem stopnia co najwyżej trzeciego, więc musi być postaci \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{R}}\).
Zauważ ponadto, że \(\displaystyle{ x^4-4x^2+4=(x+\sqrt{2})^2(x-\sqrt{2})^2}\).
Co ważniejsze, zauważ także, że wartości wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{2}}\) są równe odpowiednio wartościom wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) dla tych argumentów oraz wartości pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{2}}\) są równe odpowiednio wartościom pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) dla tych argumentów.
Zauważ ponadto, że \(\displaystyle{ x^4-4x^2+4=(x+\sqrt{2})^2(x-\sqrt{2})^2}\).
Co ważniejsze, zauważ także, że wartości wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{2}}\) są równe odpowiednio wartościom wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) dla tych argumentów oraz wartości pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) dla \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{2}}\) są równe odpowiednio wartościom pochodnej wielomianu \(\displaystyle{ x^{1000}+999}\) dla tych argumentów.
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 19 lis 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 43 razy
Reszta z dzielenia wielomianów - trudne
Brakowało mi tej równości pochodnych... z czego ona wynika? bo chyba tego nie widzę
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Reszta z dzielenia wielomianów - trudne
Wynika ona wprost z różniczkowania stronami równości powstałej po zastosowaniu twierdzenia o dzieleniu wielomianów, tj. \(\displaystyle{ x^{100}+99=P(x)(x^4-4x^2+4)+ax^3+bx^2+cx+d}\).