Wielomian z parametrem

Vixy · Post autor: **Vixy** » 22 lut 2007, o 20:27

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^3+px^2-x+q}\) przez trójmian \(\displaystyle{ (x+2)^2}\) wynosi 1-x .Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

W(-2)=1
z tego wychodzi ze q=7-4p

czyli ma to postac \(\displaystyle{ x^3+px^2-x+7-4p}\)

pierwiastki wielomianow potrafie wyznaczac , jedynym problem jest wyznaczenie tego p

soku11 · Post autor: **soku11** » 22 lut 2007, o 20:40

Lepiej bedzie w tym przypadku podzielic Wynik reszty przyrownaj do -x+1. Powinno wyjsc. POZDRO

*Kasia · Post autor: *Kasia » 22 lut 2007, o 20:41

Może spróbuj zastosować to samo po raz drugi, ponieważ dzielisz przez kwadrat?

[ Dodano: 22 Luty 2007, 20:42 ]
I mi wyszło \(\displaystyle{ q=2-4p}\), ale mogłam się pomylić...

Vixy · Post autor: **Vixy** » 22 lut 2007, o 20:44

no jest to kwadrat ale tutaj delta wynosi 0 wiec jest jeden pierwiastek soku mozesz mi to podzielic bo juz zapomnialam jak sie to robiło

[ Dodano: 22 Luty 2007, 21:45 ]
kasia jak to zrobiłaś ? przeciez tutaj jest tylko jeden pierwiastek

soku11 · Post autor: **soku11** » 22 lut 2007, o 20:57

Nie wiem czy mam wszystko pisac, ale wychodzi po dzielniu przez
\(\displaystyle{ x^{2}+4x+4}\)
takie cos:
\(\displaystyle{ (-4p+11)x+q-4p+16}\)
Teraz przyrownujesz do reszty, czyli:
\(\displaystyle{ -4p+11=-1\quad i \quad q-4p+16=1}\)
\(\displaystyle{ -4p=-12\quad i \quad q=-15+4p}\)
\(\displaystyle{ p=3\quad i \quad q=-3}\)

Wzor wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3}\)
Dla sprawdzenia podzielilem jeszcze raz i wyszlo POZDRO

Vixy · Post autor: **Vixy** » 22 lut 2007, o 20:59

oki dzieki to zaraz bede musiala sobie przypomniec dzielenie wielomianów

*Kasia · Post autor: *Kasia » 22 lut 2007, o 21:09

Ja rozpisałam w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^3+px^2-x+q=x^3+2x^2+(p-2)x^2+2(p-2)x+(3-2p)x+(6-4p)}\)
I z tego mi wyszło \(\displaystyle{ q=6-4p}\) (wcześniej jeszcze błąd rachunkowy zrobiłam, który teraz zauważyłam...)
Ale mogłam się pomylić...

soku11 · Post autor: **soku11** » 22 lut 2007, o 21:14

Dla ulatwienia podam dzielenie (sie poswiecilem i napisalem w PAINCIE ). Przepraszam za brzydki charakter pisma

POZDRO

Vixy · Post autor: **Vixy** » 22 lut 2007, o 21:14

aaa wiem , to juz zauwazylam mi wyszlo q=7-4p

bez podzielenia tego wielomianu tutaj niestety nie obejdzie sie

max · Post autor: **max** » 22 lut 2007, o 23:29

Można na to spojrzeć inaczej... i zamiast podzielić to pomnożyć...

Ale do rzeczy:
Z twierdzenia o dzieleniu mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x + 2)^{2} + 1 - x}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) to wielomian stopnia pierwszego, czyli możemy zapisać go w postaci: \(\displaystyle{ ax + b}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ W(x) = (ax + b)(x + 2)^{2} + 1 - x =\\
= ax^{3} + (4a + b)x^{2} + (4a + 4b - 1)x + 1 + 4b}\)
I teraz przyrównując odpowiednie współczynniki mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a = 1\\4a + b = p\\4a + 4b - 1 = -1\\1 + 4b = q\end{array} \\
ft\{\begin{array}{l}a = 1\\4 + b = p\\4 + 4b = 0\\1 + 4b = q\end{array} \\
ft\{\begin{array}{l}a = 1\\4 + b = p\\b = -1\\1 + 4b = q\end{array} \\
ft\{\begin{array}{l}a = 1\\p = 3\\b = -1\\q = -3\end{array} \\}\)
stąd:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} + 3x^{2} - x - 3}\)