pierwiastki

[altair3]

Dowiesc, tego.. jesli dwa wielomiany stopnia trzeciego o wspolczynnikach całkowitych maja pewien wspolny pierwiastek niewymierny, to mają tez i drugi wspólny.

[Fanik]

Wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych jeśli ma wogóle pirwiastki NIEWYMIERNE, to ilośc wszystkich pierwiastków może być:
A) albo 1 (ten niewymierny - do jego obliczenia z wzorów cardano)

B) albo 3 (jeden pierwiastek jest całkowity X1, dwa pozostałe są pierwiastkami niewymiernymi równania kwadratowego powstałego z podzielenia wyjsciowego wielomianu przez dwumian x-X1;

C) albo 3 (3 niewymierne - do ich obliczenia uzywamy wzorów cardano, casus irreducibilis)

Innej możliwości nie ma (np. nie moze byc jeden dwukrotny i drugi jednokrotny, i ktorys z nich jest niewymierny, gdyz po wymnozeniu takiego wielomianu (x-x1)^2 * (x-x2) nie otrzymamy wielomianu o wspolczynnikach calkowitych.

Nas oczywiscie bedzie interesowac tylko przypadek z 3 pierwiastkami (gdyz w zadaniu jest mowa ze drugi pierw...)

A wiec tak, zacznijmy ze przypadku ze oba wielomiany sa postaci B
DOWOD CZESCI PIERWSZEJ -
jeden wielomian jest postaci W(X)=(x-x1)(x^2+bx+c), drugi Q(x)=(x-x2)(x^2+dx+e)
oczywiscie wspolnym pierwiastkiem niewymiernym jest pierwiastek z rozlozenia tego trojmianu w nawiasie. w wielomianie W(x) jest to pierwiastek
\(\displaystyle{ p=\frac{b^2 - 4\sqrt{c}}{2}}\), \(\displaystyle{ q=\frac{b^2 + 4\sqrt{c}}{2}}\)
a w wielomianie Q(x) jest to pierwiastek
\(\displaystyle{ r=\frac{d^2 - 4\sqrt{a}}{2}}\), \(\displaystyle{ s=\frac{d^2 + 4\sqrt{a}}{2}}\)

i teraz jesli p=r to q musi byc rowne s gdyz tylko wtedy po wymnozeniu wielomianu Q(x) z postaci iloczynowej do ogolnej powstana nam wspolczyniki calkowite.
(odpowiedz sobie na pytanie w taki sposob: kiedy suma dwoch liczb niewymiernych bedzie liczba calkowita - a no wtedy gdy czesci niewymierne tych liczb beda sie roznic znakiem, np):
\(\displaystyle{ 1+\sqrt(3)}\) i \(\displaystyle{ 1-\sqrt(3)}\).
i teraz skojarz to z wzorami na pierw. rown kwadratowego - tam wlasnie pierwiastkek z delty, czyli czesc niewymierna roznia sie znakiem.
dlaczego mowie tu o sumie? poniewaz z wzorow viete'a dla rown3 stopnia mamy, ze liczba przeciwna do sumy pierwiastkow tego rownania jest rowna \(\displaystyle{ \frac{-wspolczynnik przy 2 potedze}{wspolczynnik przy 3 potedze}}\)
CND

Jesli jeden z wielomianow jest postaci B, a drugi postaci C to wowczas nie moga one miec wspolnego pierwiastka niewymiernego, gdyz pierwiastki niewymierne wielomianu B sa prostymi typu (coś+pierwiastek(coś))/coś natomiast piewaistki niewymierne wielomianu C są skomplikowanymi, wyrazonymi wzorami cardano.
CND

jesli oba wielomiany są postaci C, to - tego nie potrafie na chwile obecna dowiesc

[ Dodano: 18 Czerwca 2007, 14:51 ]
hmm, po pewnej chwili namyslu przyszla mi do glowy inna metoda.
Mamy dwa wielomiany
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=(x-x_1)(x-x_4)(x-x_5)}\)

gdzie x1 jest wpólnym pierwiastkiem niewymiernym.

Po wymnożeniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3) - x_1 x_2 x_3}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=x^3-(x_1+x_4+x_5)x^2+(x_1 x_4 + x_1 x_5 + x_4 x_5) - x_1 x_4 x_5}\)

iloraz współczynników wolnych tych wielomianów jest równy
\(\displaystyle{ \frac{x_1 x_2 x_3}{x_1 x_4 x_5} = \frac{x_2 x_3}{x_4 x_5}}\)

Jeżeli teraz jeden z pierwiastków x2 x3 i jeden z x4_x5 jest liczba calkowita, to otrzymamy iloraz równy:
\(\displaystyle{ \frac{c_1 x_3}{c_2 x_5}}\)

iloraz ten musi byc liczba wymierna gdyz wpolcz. wielomianow sa calkowite, a to bedzie tylko wtedy gdy x3=x5 gdyz x3 i x5 sa liczbami niewymiernymi

[mol_ksiazkowy]

Czy można to przedstawić nieco bardziej "koszernie" ?