Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ (a+3b)^4\ge256ab^3}\)
Zadanie zalazłem na forum. Czy samo podniesienie do potęgi czwartej i przeniesienie na jedną stronę da nam spełnienie warunku, bo ja go jeszcze nie widzę.
Mile widziane są inne propozycje.
Wykaż prawdziwość nierówności
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż prawdziwość nierówności
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ \frac{a+3b}{4} = \frac{a+b+b+b}{4} \ge \sqrt[4]{ab^3} \\ \\ \iff \\ \\ a+3b \ge 4\sqrt[4]{ab^3}/^4 \Leftrightarrow (a+3b)^4 \ge 256ab^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+3b}{4} = \frac{a+b+b+b}{4} \ge \sqrt[4]{ab^3} \\ \\ \iff \\ \\ a+3b \ge 4\sqrt[4]{ab^3}/^4 \Leftrightarrow (a+3b)^4 \ge 256ab^3}\)