Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b}\) liczba
\(\displaystyle{ x _{0}=-1}\)
jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ w(x)=6x ^{4} +8x ^{3} -8x ^{2} +ax+b}\) ?
Zrobiłem to zadanie, dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ \left( x+1\right)}\) , dostałem z tego (załóżmy) wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) i resztę z dzielenia, którą przyrównałem do zera (z tego mam jedno równanie). Następnie wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) znowu podzieliłem przez \(\displaystyle{ \left( x+1\right)}\) i otrzymaną resztę przyrównałem do zera (drugie równanie).
Dostaję układ dwóch równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b}\), czyli da się rozwiązać.
Wyszedł poprawny wynik, ale ten sposób jest dosyć czasochłonny... Czy istnieją jakieś inne, prostsze metody rozwiązania?
Dwukrotny pierwiastek, parametry
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Dwukrotny pierwiastek, parametry
Wiem, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ w(x)=(x+1) ^{2} \cdot q(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ q(x)}\) jest jakimś wielomianem drugiego stopnia.
Jak policzymy pochodne z tego, to będzie
\(\displaystyle{ w'(x)=2\left( x+1 \right) \cdot q(x) + (x+1) ^{2} \cdot q'(x) \\ w''(x)=2q(x) +2\left( x+1 \right) \cdot q'(x) + 2\left( x+1 \right) \cdot q'(x)+\left( x+1 \right) ^{2} \cdot q''(x)}\)
i warunek \(\displaystyle{ W'(-1)=0}\) jest wtedy dla mnie jasny (i wystarczający do rozw. zadania) , ale jak napisałeś jeszcze
\(\displaystyle{ W''(-1) \neq 0}\)
to spytam: skąd akurat wiemy, że \(\displaystyle{ 2q(-1) \neq 0}\) ?
\(\displaystyle{ w(x)=(x+1) ^{2} \cdot q(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ q(x)}\) jest jakimś wielomianem drugiego stopnia.
Jak policzymy pochodne z tego, to będzie
\(\displaystyle{ w'(x)=2\left( x+1 \right) \cdot q(x) + (x+1) ^{2} \cdot q'(x) \\ w''(x)=2q(x) +2\left( x+1 \right) \cdot q'(x) + 2\left( x+1 \right) \cdot q'(x)+\left( x+1 \right) ^{2} \cdot q''(x)}\)
i warunek \(\displaystyle{ W'(-1)=0}\) jest wtedy dla mnie jasny (i wystarczający do rozw. zadania) , ale jak napisałeś jeszcze
\(\displaystyle{ W''(-1) \neq 0}\)
to spytam: skąd akurat wiemy, że \(\displaystyle{ 2q(-1) \neq 0}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Dwukrotny pierwiastek, parametry
Aby pierwiastek był podwójnym nie może być potrójnym - i ostatnie ma to wykluczyć.
Zadania najczęściej tak są układane, że jak ma być podwójny to nie będzie potrójnym - ale trzeba to sprawdzać.
Ps. Pochodne licz z wyjściowej postaci.
Zadania najczęściej tak są układane, że jak ma być podwójny to nie będzie potrójnym - ale trzeba to sprawdzać.
Ps. Pochodne licz z wyjściowej postaci.
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy