Dwukrotny pierwiastek, parametry

[loitzl9006]

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b}\) liczba

\(\displaystyle{ x _{0}=-1}\)

jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

\(\displaystyle{ w(x)=6x ^{4} +8x ^{3} -8x ^{2} +ax+b}\) ?

Zrobiłem to zadanie, dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ \left( x+1\right)}\) , dostałem z tego (załóżmy) wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) i resztę z dzielenia, którą przyrównałem do zera (z tego mam jedno równanie). Następnie wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) znowu podzieliłem przez \(\displaystyle{ \left( x+1\right)}\) i otrzymaną resztę przyrównałem do zera (drugie równanie).

Dostaję układ dwóch równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b}\), czyli da się rozwiązać.

Wyszedł poprawny wynik, ale ten sposób jest dosyć czasochłonny... Czy istnieją jakieś inne, prostsze metody rozwiązania?

[piasek101]

Jak znasz pochodne to :
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)

\(\displaystyle{ W'(-1)=0}\)

\(\displaystyle{ W"(-1)\neq 0}\)

[loitzl9006]

Wiem, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) można zapisać w postaci

\(\displaystyle{ w(x)=(x+1) ^{2} \cdot q(x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ q(x)}\) jest jakimś wielomianem drugiego stopnia.

Jak policzymy pochodne z tego, to będzie

\(\displaystyle{ w'(x)=2\left( x+1 \right) \cdot q(x) + (x+1) ^{2} \cdot q'(x) \\ w''(x)=2q(x) +2\left( x+1 \right) \cdot q'(x) + 2\left( x+1 \right) \cdot q'(x)+\left( x+1 \right) ^{2} \cdot q''(x)}\)

i warunek \(\displaystyle{ W'(-1)=0}\) jest wtedy dla mnie jasny (i wystarczający do rozw. zadania) , ale jak napisałeś jeszcze

\(\displaystyle{ W''(-1) \neq 0}\)

to spytam: skąd akurat wiemy, że \(\displaystyle{ 2q(-1) \neq 0}\) ?

[piasek101]

Aby pierwiastek był podwójnym nie może być potrójnym - i ostatnie ma to wykluczyć.

Zadania najczęściej tak są układane, że jak ma być podwójny to nie będzie potrójnym - ale trzeba to sprawdzać.

Ps. Pochodne licz z wyjściowej postaci.

[loitzl9006]

Aha, rozumiem już wszystko. Dzięki