Rozłożenie wielomianu

sennheiser123 · Post autor: **sennheiser123** » 30 kwie 2012, o 15:06

Witam,
potrzebuję kilku wskazówek jak rozwiązać zadanie:
Po rozłożeniu na czynniki wielomian
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 8x^{2} +16}\)
ma postać?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 30 kwie 2012, o 15:07

\(\displaystyle{ x ^{2}=t}\) podstawienie

major37 · Post autor: **major37** » 30 kwie 2012, o 15:11

To co miodzio przy założeniu oczywiście \(\displaystyle{ t>0}\)

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 30 kwie 2012, o 15:25

Major a to już chyba zależy czy mówimy o dziedzinie liczb rzeczywistych, czy też liczb zespolonych? Chociaż w tym przypadku i tak wielomian daje się rozłożyć na czynniki liniowe w dziedzinie liczb rzeczywistych.

sennheiser123 · Post autor: **sennheiser123** » 30 kwie 2012, o 15:33

\(\displaystyle{ t^{2} - 8t + 16 \\
\Delta = 64 - 4 \cdot 1 \cdot 16 \\
\Delta = 0}\)

coś takiego?

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 30 kwie 2012, o 15:47

No prawie ale ściślej rzecz ujmując to rozwiązujesz równanie: \(\displaystyle{ t^{2} - 8t + 16 = 0}\), a to jednak pewna różnica czy zapiszesz sam wielomian, czy też przyrównasz go do zera

No i dalej musisz jeszcze rozwiązać.

sennheiser123 · Post autor: **sennheiser123** » 30 kwie 2012, o 15:56

w takim razie \(\displaystyle{ t^{2} = -8}\)

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 30 kwie 2012, o 16:40

No chyba nie bardzo, przypomnij sobie jeszcze raz wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

sennheiser123 · Post autor: **sennheiser123** » 30 kwie 2012, o 17:01

faktycznie,
czyli
wzór \(\displaystyle{ x_{1} = - \frac{b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+2) = 0}\)

teraz powinno być dobrze?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 kwie 2012, o 17:19

pawellogrd, powinno być \(\displaystyle{ t^2-8t+16=0}\).

sennheiser123, skorzystaj lepiej ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymasz \(\displaystyle{ t^2-8t+16=(t-4)^2}\); wracając teraz do zmiennej \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ (x^2-4)^2}\); rozłóż to wyrażenie na czynniki korzystając także z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.

sennheiser123 · Post autor: **sennheiser123** » 30 kwie 2012, o 18:48

czyli \(\displaystyle{ (x - 2)^{2} (x + 2 )^{2} = 0}\)

znajduję taką odpowiedź, więc zadanie rozwmiązane

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 30 kwie 2012, o 19:14

Nie przyrównuj wzoru wielomianu do zera, gdyż nie chodzi tu o rozwiązanie równania wielomianowego, a jedynie o znalezienie postaci iloczynowej wielomianu.

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 30 kwie 2012, o 20:53

lukasz1804 pisze:pawellogrd, powinno być \(\displaystyle{ t^2-8t+16=0}\).

Tak, literówka, już poprawiłem.

A odnośnie przyrównania do zera, żeby nie było wątpliwości dla autora tematu - chodziło o znalezienie miejsc zerowych, żeby rozłożyć wielomian, jednak w odpowiedzi należy podać wielomian rozłożony na te czynniki, wtedy podajemy już sam wielomian, bez przyrównywania go do zera

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 30 kwie 2012, o 21:14

sennheiser123 pisze:\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 8x^{2} +16}\)

Można i na tym etapie zauważyć wzór skróconego mnożenia tj. \(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}\):
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-4)^2}\) i potem zająć się nawiasem (kolejny wzór skróconego mnożenia)