Przykłady wielomianów

rafcio_100 · Post autor: **rafcio_100** » 29 kwie 2012, o 15:07

Proszę o pomoc w zadaniach:

1.\(\displaystyle{ W(x)}\) jest stopnia \(\displaystyle{ 3}\) i ma trzy pierwiastki: \(\displaystyle{ -2, -1}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\). Czy wielomian \(\displaystyle{ P(x)=W(x) \cdot (x ^{3}+3x ^{2}+3x+1)}\) ma pierwiastki wielokrotne, jeśli tak, to jakie? Podaj krotność pierwiastka wielokrotnego.

2. Podaj przykład \(\displaystyle{ W(x)}\) spełniającego warunki:
a) stopień \(\displaystyle{ 8}\)
b) pierwiastki: \(\displaystyle{ -3}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\)
c) \(\displaystyle{ -3}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ 3}\)-krotnym, \(\displaystyle{ 4}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ 1}\)-krotnym

3. Podaj przykład \(\displaystyle{ W(x)}\) spełniającego warunki:
a) stopień \(\displaystyle{ 7}\)
b) pierwiastki: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2} , 4, 3}\)
c) \(\displaystyle{ 4}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ 1}\)-krotnym , \(\displaystyle{ 3}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ 4}\)-krotnym, \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ 2}\)-krotnym
d) wszystkie współczynniki są całkowite.

Czy do zadania 3. może być wielomian \(\displaystyle{ W(x)=4(x+ \frac{1}{2}) ^{2}(x-4)(x-3) ^{4}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 29 kwie 2012, o 15:08

\(\displaystyle{ x ^{3}+3x ^{2}+3x+1=0}\)

najpierw taką równość rozwiąż

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 29 kwie 2012, o 18:49

Wzór skróconego mnożenia (sześcian sumy)

rafcio_100 · Post autor: **rafcio_100** » 29 kwie 2012, o 20:00

Ale do którego zadania wgl te odpowiedzi?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 29 kwie 2012, o 20:04

do pierwszego

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 29 kwie 2012, o 20:30

Czy do zadania 3. może być wielomian \(\displaystyle{ W(x)=4(x+ \frac{1}{2}) ^{2}(x-4)(x-3) ^{4}}\)

Może być.

rafcio_100 · Post autor: **rafcio_100** » 29 kwie 2012, o 20:54

A do drugiego?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 kwie 2012, o 21:01

Ty pokaż coś - sprawdzimy.

rafcio_100 · Post autor: **rafcio_100** » 29 kwie 2012, o 21:38

No właśnie nie mam pojęcia, jak ułożyć wielomian z tymi pierwiastkami, żeby był 8 stopnia.

Mam rozumieć, że P(x) będzie wyglądało tak:

\(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x-4)(x+1) ^{4}}\)?

I w takim razie \(\displaystyle{ -1}\) będzie pierwiastkiem 4-krotnym?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 kwie 2012, o 21:48

Tak masz (-1) czterokrotny.

A ósmy stopień - normalnie - najwyższa potęga x-sa po wykonaniu mnożeń.

Którego stopnia jest ten ostatni \(\displaystyle{ P(x)}\) ?

rafcio_100 · Post autor: **rafcio_100** » 29 kwie 2012, o 21:52

No czwartego.

Czyli jak będzie \(\displaystyle{ W(x)=(x+3) ^{3}(x-4)}\) to będzie 8 stopnia?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 kwie 2012, o 22:05

rafcio_100 pisze:\(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x-4)(x+1) ^{4}}\)

Ten jest szóstego bo \(\displaystyle{ x\cdot x\cdot x^4=x^6}\)

A (puki co) \(\displaystyle{ W(x)}\) masz czwartego.

rafcio_100 · Post autor: **rafcio_100** » 29 kwie 2012, o 22:20

No tak P(x) jest szóstego, myślałem że chodzi Ci o potęgę przy ostatnim pierwiastku.

Nie wiem jak ułożyć W(x) do drugiego zadania :/

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 kwie 2012, o 22:23

rafcio_100 pisze:\(\displaystyle{ W(x)=(x+3) ^{3}(x-4)}\)

Jeśli tylko (-3) i (4) mają być pierwiastkami to dołóż czynnik drugiego stopnia który nie ma pierwiastków.