Wielomian z parametrem

marta8 · Post autor: **marta8** » 21 lut 2007, o 13:03

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-28x+m}\) gdzie m należy do R. Wyznacz wszystkie m dla których jeden pierwiastek wielomianu jest dwa razy większy niż drugi pierwiastek tego wielomianu

Puzon · Post autor: **Puzon** » 21 lut 2007, o 14:07

marta8 pisze:Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-28x+m}\) gdzie m należy do R. Wyznacz wszystkie m dla których jeden pierwiastek wielomianu jest dwa razy większy niż drugi pierwiastek tego wielomianu

niech p i 2p to pierwiastki wielomianu, wtedy
\(\displaystyle{ W(p)=0\,\,\,\,W(2p)=0}\)
zatem
\(\displaystyle{ p^3-28p+m=(2p)^3-28\cdot2p+m=0}\)
czyli
wystarczy rozwiązać ukł. równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}(2p)^3-28\cdot2p+m=0\\p^3-28p+m=0\end{array}}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 21 lut 2007, o 14:23

Można również skorzystać z wzorów Viete'a dla wielomianów trzeciego stopnia. Dla tego wielomianu mamy \(\displaystyle{ x_{1} +x_{2}+x_{3}=0 \wedge x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=-28 \wedge -x_{1}x_{2}x_{3}=m}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x_{2}=2x_{1}}\) łatwo obliczymy, że \(\displaystyle{ x_{3}=-3x_{1}}\), a wtedy z drugiego równania otrzymamy, że \(\displaystyle{ x_{1}^2=4}\). Stąd dostaniemy dwie możliwości: \(\displaystyle{ x_{1}=2, x_{2}=4, x_{3}=-6}\) lub \(\displaystyle{ x_{1}=-2, x_{2}=-4 , x_{3}=6}\). Teraz już wyliczamy, że \(\displaystyle{ m=-48 \vee m=48}\).

marta8 · Post autor: **marta8** » 23 lut 2007, o 21:35

z tego układu wychodzi mi x=o x=-2 x=2 czyli m=0 m=48 m=-48 jak odrzucić m=o jakie założenie?

mares43 · Post autor: **mares43** » 24 lut 2007, o 12:46

wczesniej musisz odrzucic x=0 ponieważ jezeli jeden pierwiastek jest równy zero to drugi tez bedzie zero, a w poleceniu jest napisane ze jest o dwa razy wiekszy wiec automatycznie odrzucasz...

Fundak · Post autor: **Fundak** » 24 lut 2007, o 12:46

Mam to samo zadanie i wydaje mi się że skróciłaś treść. Bo ja mam: "wyznacz wszytskie wartości parametru m, dla których jeden różny od zera pierwiastek wielomianu W jest dwa razy większy niż drugi pierwiastek tego wielomianu". Z tego wychodzi że x nie może być zerem bo ma on być różny od zera. Chyba że masz taką treść którą napisałaś, to wtedy dla m=0, x będzie wynosił również 0, a skoro nie będzie pierwiatkiem podwójnym, to drugi pierwiastek nie może być różny od zera. Tak to umie tylko wytłumaczyć.