Różnowartościowść funkcji

[szymihej]

Witam, jestem nowy nie wiem czy dałem temat do dobrego działu. Mam problem z pewnym zadaniem.
Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja \(\displaystyle{ f:\langle 2,+\infty)\to\mathbb{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= x^{3} - 4x}\) jest różnowartościowa.
Pozdrawiam.

[JakimPL]

Używaj \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a.

Mamy funkcję zadaną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^3-4x}\). Z definicji różnowartościowości:

\(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\).

Wybierzmy dowolne \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) z przedziału \(\displaystyle{ \langle 2,+\infty)}\). Wtedy, jeżeli zachodzi:

\(\displaystyle{ (x_1)^3-4x_1 = (x_2)^3-4x_2}\)

to mamy pokazać, że zachodzi \(\displaystyle{ x_1=x_2}\).

Rozwiążmy to dalej:

\(\displaystyle{ (x_1)^3-4x_1 - (x_2)^3+4x_2 = 0 \\ (x_1)^3-(x_2)^3 - 4(x_1 - x_2)=0}\)

Zbijmy wyrażenia ze wzoru \(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\):

\(\displaystyle{ (x_1-x_2)((x_1)^2+x_1 x_2 +(x_2)^2) - 4(x_1 - x_2)=0}\)

Włączmy \(\displaystyle{ 4}\) pod wspólny nawias:

\(\displaystyle{ (x_1-x_2)((x_1)^2+x_1 x_2 +(x_2)^2-4)=0}\)

Kiedy iloczyn jest równy \(\displaystyle{ 0}\)?

[szymihej]

Kiedy \(\displaystyle{ x _{1} lub x _{2} = 0}\) ? Ale dziedzina funkcji jest \(\displaystyle{ <2, + \infty>}\).

[JakimPL]

Nie, wstaw sobie za jedną ze zmiennych \(\displaystyle{ 0}\) i przekonaj się, że to nie jest tak. Powyższy iloczyn jest równy \(\displaystyle{ 0}\), gdy któryś z czynników, \(\displaystyle{ x_1 - x_2}\) lub \(\displaystyle{ (x_1)^2+x_1 x_2 +(x_2)^2-4}\), jest równy \(\displaystyle{ 0}\). Co z tego wynika?

[szymihej]

Mają jedno rozwiązanie.

[JakimPL]

A co musisz pokazać?

[szymihej]

Muszę pokazać, że \(\displaystyle{ x _{1} = x _{2}}\) czyli są równe, czyli funkcja jest funkcją różnowartościową.

[JakimPL]

No tak, a skoro wiesz z równości na końcu, że:

\(\displaystyle{ x_1-x_2 = 0 \vee (x_1)^2+x_1 x_2 +(x_2)^2-4=0}\)

to czy jest prawdą, że \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2}\)?

[chuckstermajster]

Ja widzę z tego tylko, że \(\displaystyle{ x_1 = x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2)}\). Nie widzę natomiast

\(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x_1= x_2}\)

Skąd mam wiedzieć, że \(\displaystyle{ (x_1)^2+x_1 x_2 +(x_2)^2-4=0}\) zeruje się tylko wtedy gdy\(\displaystyle{ x_1 =x_2}\)?

[JakimPL]

Nie zeruje się. Dla danej dziedziny drugi czynnik nie zeruje się w ogóle, natomiast pierwszy zawsze, gdy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), z czego wynika, że \(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1= x_2}\).

[chuckstermajster]

Aaa, fakt. Nie zeruje się wcale. Nie zauważyłem. Dzięki ;D

Po prostu myślałem, że jest taka para \(\displaystyle{ x_1, x_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2 \wedge (x_1)^2+x_1 x_2 +(x_2)^2-4=0}\)

Wtedy chyba nie można by było wyprowadzić wniosku, że \(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow}\)\(\displaystyle{ x_1=x_2}\). Mam rację?

[JakimPL]

Wtedy byśmy pokazali, że funkcja była nieróżnowartościowa .

[chuckstermajster]

Tak, dokładnie

Już 6lat nie rozwiązywałem przykładów tego typu. Się pozapominało trochę. Dzięki raz jeszcze


Edited: Albo raczej pokazali, że funkcja nie była różnowartościowa. Nie wiem czy jest taki termin jak "funkcja nieróżnowartościowa"