Memy dany wieloman \(\displaystyle{ P \in \mathbb{R}}\), stopnia \(\displaystyle{ n}\), oraz \(\displaystyle{ x_1, x_2, ... , x_n}\) są jego pierwiastkami w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Dla \(\displaystyle{ i \ge 0}\) mamy zbiór \(\displaystyle{ N_i= \sum_{i=1}^{n}}\). Elementy \(\displaystyle{ N_i}\) nazwyamy sumami Nwetona pierwiastków wielomianu P, o współczynnikach całkowitych. Są one wieloaminami symetrycznymi pierwiastków wielomianu P. Stąd jeżeli \(\displaystyle{ P=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n}\),sumy Nwetona mogżna przedstawić jako wielomiany o współczynnikach \(\displaystyle{ a_1/a_0, ..., a_n/a_0}\) o współćzynnikach całkowitych.
(ostatnie zdanie nie wiem czy dobrze rozumiem bo to z angielskiego tekstu).
I teraz przykład w którym nie rozumiem jak otrzymujemy poszczególne zależności:
PRZYKŁAD:
Pokazujemy że rozwinięciem pochodnej logartymiczej (czyli \(\displaystyle{ P`/P}\)) w serii \(\displaystyle{ 1/x}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{1=0}^{ \infty }N_i (1/x)^{1+i}}\). Wnioskując z tego faktu otrzymujemy następujące zależności:
\(\displaystyle{ N_0=n \newline
a_0 N_1=-a_1\newline
a_0 N_2=-(N_1 a_1+2a_2)\newline
...\newline}\)
\(\displaystyle{ a_0=-(N_{i-1}a_1+N_{i-2}a_2+...+N_1a_{i-1}+ia_i)}\) jeśli \(\displaystyle{ i \le n}\)
\(\displaystyle{ a_0=-(N_{i-1}a_1+N_{i-2}a_2+...+N_{i-n}a_n)}\) jeśli \(\displaystyle{ i > n}\).
Skąd i jak wynikają te zależności?
suma Newtona pierwiastków wielomianu-wyprowadzenie
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
suma Newtona pierwiastków wielomianu-wyprowadzenie
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf
-
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: pl
- Podziękował: 12 razy
suma Newtona pierwiastków wielomianu-wyprowadzenie
dziękuję za polską wersję, mam nadzieję że pomoże a zakres to studia