Rozkład wielomianu na czynniki

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 13:32

Moja sytuacja z matematyki na koniec II klasy technikum jest "nie ciekawa" w piątek będę pytany z "rozkładu wielomianów na czynniki" prawie nic nie rozumiem, przed świętami byłem przy tablicy i robiłem takie zadanie:

\(\displaystyle{ 125+75x+15x^{2}+x^{3}}\)

Na szczęście nie zdążyłem... zadanie przy tablicy na 100% będzie inne no ale zacznijmy od tego, jak to rozwiązać? wiem tyle że potrzebny jest wzór skróconego mnożenia ...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 kwie 2012, o 13:33

\(\displaystyle{ (a+b)^3=...}\)

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 13:48

A co teraz jest "a" a co "b" ?-- 10 kwi 2012, o 14:25 --REFRESH i inaczej, już chyba wiem co "a" a co "b" ale mógłby ktoś to rozwiązać i napisać po kolei co robił? ...

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 10 kwie 2012, o 14:31

Najlepiej spojrzeć na pierwszy i ostatni wyraz (czyli wyraz wolny i współczynnik w trzeciej potędze), we wzorze skróconego mnożenia masz:

\(\displaystyle{ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3b^2a + b^3}\) Zauważ, że \(\displaystyle{ a}\) podnosisz do trzeciej potęgi i \(\displaystyle{ b}\)również.

Więc patrząc na pierwszy i ostatni wyraz - jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi da Ci \(\displaystyle{ 125}\), a jaki \(\displaystyle{ x^3}\)?

No jak wiesz co jest "a" i "b" to już rozłożyłeś w tym przypadku wielomian na czynniki. Rozłożyć wielomian na czynniki, to zapisać go w postaci iloczynu wielomianów najniższego możliwego stopnia.

Czyli będzie miał on postać:

\(\displaystyle{ (a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)}\)

Czyli iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego - bardziej rozłożyć się nie da.

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 15:27

czyli "a" - wyraz z najwyższą potęgą
"b" - wyraz wolny ? czy odwrotnie?

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 10 kwie 2012, o 15:43

"a" to pierwiastek trzeciego stopnia z wyrazu z najwyższą potęgą, a "b" to pierwiastek trzeciego stopnia z wyrazu wolnego. Albo na odwrót. W nawiasie masz dodawanie - dodawanie jest przemienne, więc w tym przypadku kolejność nie ma znaczenia.

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 15:45

Nie ogarniam...

chcę podstawić pod wzór skróconego mnożenia, więc ile wynosi "a" i "b" ? jaka liczba dokładna?

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 10 kwie 2012, o 15:48

No napisałeś, że wiesz ile wynoszą. Napisz co wykombinowałeś, a ja Ci powiem, czy dobrze.

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 15:55

czyli

\(\displaystyle{ a=x \\
b= 11 ?}\)

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 10 kwie 2012, o 16:07

Ja wiem skąd Ty to wyczarowałeś.

\(\displaystyle{ a = x}\)

\(\displaystyle{ b = 5}\)

bo:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{125} = 5}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^3} = x}\)

Ale to nie jest reguła.

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 16:34

czyli po podstawieniu
\(\displaystyle{ x^3+3x^2 \cdot 5^2+5^3 =
x^3+15x^2+75x+125}\)

tak?

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 10 kwie 2012, o 16:39

tak?[/quote]Coś źle podstawiłeś po lewej stronie.

Poza tym - podstawiasz pod tę: \(\displaystyle{ (a+b)^3}\) część równania. I Masz:

\(\displaystyle{ x^3+15x^2+75x+125 = (x+5)^3}\)

inspire796 · Post autor: **inspire796** » 10 kwie 2012, o 16:59

Ok i to tyle?

chuckstermajster · Post autor: **chuckstermajster** » 10 kwie 2012, o 17:12

ewentualnie można jeszcze napisać, że:

\(\displaystyle{ (x+5)^3 = (x+5)\cdot(x+5)\cdot(x+5)}\)

I tyle. Wielomian rozłożony na iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego.