Wyznacz współrzędne wielomianu

[denatlu]

wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+(a+b)x^3+(a-b)x^2-3x-2 , x \in R}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^2+x-2.}\) Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

\(\displaystyle{ P(x)=(x+2)(x-1)}\)

wyszło mi \(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=1}\), to jest dobry wynik? Zrobiłem to w układzie równań, a jest jakiś jeszcze sposób?

[ola2502]

Jaki zrobiłeś ten układ równań?
To nie robiło się przypadkiem tak, że W(-2)=0 i W(1)=0

[Ponewor]

Wynik dobry.

Jak zgaduję rozwiązałeś to wstawiając w miejsce \(\displaystyle{ x}\) kolejno \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\).

Inny sposób to po prostu dostrzeżenie, że jeżeli \(\displaystyle{ W(x) = P(x) \ast Q(x)}\) to \(\displaystyle{ Q(x)}\) musi być stopnia drugiego, z końcówką \(\displaystyle{ +1}\), a w konsekwencji z koncówką \(\displaystyle{ +2x + 1}\). Zatem \(\displaystyle{ Q(x) = x^{2} + 2x + 1}\). Teraz mnożysz i uzyskujesz: \(\displaystyle{ W(x)= x^{4} + 3x^{3} + x^{2} - 3x -2}\). No i masz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 3 \\ a - b = 1 \end{cases}}\)

[denatlu]

No tak, podstawiłem za iksa \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\) przyrównałem do zera - to wszystko w układzie a potem wyliczyłem \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)