W moje ręce trafiło 8 zadanek z wielomianów z dziwnego źródła. Za bardzo pojęcia o wielomianach nie mam dlatego proszę o pomoc. Przy jednym zadaniu zamieszczam zalążek mojego rozwiązania, a przy dwóch innych całe rozwiązania do sprawdzenia. Ostatnie dwa zadanka oznaczone są jako szczególnie harde.
1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W}\) taki, że \(\displaystyle{ W(5) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ W(-3) = -7}\). Wyznacz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ x^{2} - 2x - 15}\).
Wyczuwam tutaj twierdzenie bez "u" i widzę, że resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez dwumiany \(\displaystyle{ x - 5}\) i \(\displaystyle{ x + 3}\) są odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -7}\). Zachowałem też resztki przytomności umysłu i widzę, że \(\displaystyle{ x^{2} - 2x - 15 = (x + 3)*(x - 5)}\). Dalej niestety nie wiem co mam robić.
2. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) przyjmuje dla \(\displaystyle{ k}\) kolejnych całkowitych argumentów wartości podzielne przez \(\displaystyle{ k}\), to przyjmuje dla całkowitych argumentów tylko wartości podzielne przez \(\displaystyle{ k}\).
3. Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Załóżmy, że wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) oraz \(\displaystyle{ P(P(P(x)))}\) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty. Udowodnij, że mają też wspólny pierwiastek całkowity.
Niech tym pierwiastkiem rzeczywistym będzie liczba \(\displaystyle{ a \in R}\). Mamy wówczas \(\displaystyle{ P(a) = P(P(P(a))) = 0}\). Zatem \(\displaystyle{ P(P(P(a))) = P(P(0)) = 0}\). Czyli pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczba \(\displaystyle{ P(0)}\). Skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma współczynniki całkowite to naprawdę trudno mi sobie wyobrazić by \(\displaystyle{ P(0)}\) nie było liczbą całkowitą. I pokazywanie tego już sobie daruję, bowiem \(\displaystyle{ P(0)}\) jest po prostu równe wyrazowi wolnemu wielomianu \(\displaystyle{ P}\). Zatem wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ P(P(P(x)))}\) mają wspólny pierwiastek całkowity równy \(\displaystyle{ P(0)}\).
4. Wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} + qx + r}\) ma 3 pierwiastki rzeczywiste. Udowodnij, że \(\displaystyle{ p^{2} \ge 3q}\).
Oznaczmy pierwiastki wielomianu jako \(\displaystyle{ a, \ b}\) i \(\displaystyle{ c \in R}\). Zachodzi równość \(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} + qx + r = (x-a) \ast (x-b) \ast (x-c) = x^{3} -(a+b+c) \cdot x^{2} + (ab +ac +bc) \cdot x - abc}\).
Mamy więc \(\displaystyle{ p=-(a+b+c), \ q=ab +ac +bc}\) i \(\displaystyle{ r=-abc}\).
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\substack {a\in R \\ b\in R \\ c\in R}} (a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} - 2ab + a^{2} + c^{2} - 2ac + b^{2} + c^{2} - 2bc \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2} +2b^{2} + 2c^{2} + 4ab + 4ac + 4bc \ge 6ab + 6ac + 6bc}\)
\(\displaystyle{ a^{2} +b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc \ge 3ab + 3ac + 3bc}\)
\(\displaystyle{ [-(a+b+c)]^{2} \ge 3(ab+ac + bc)}\)
\(\displaystyle{ p^{2} \ge 3q}\) co było do udowodnienia.
5. Udowodnij, że jeżeli liczby naturalne \(\displaystyle{ k_{0}, k_{1}, \ldots , k_{n-1}}\) dają różne reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 | x^{k_{0}} + x_{k_{1}} + \ldots + x_{k_{n-1}}}\).
Mam przykre wrażenie, że w tym zadaniu jest błąd w druku.
6. Dane są 3 wielomiany \(\displaystyle{ F, G, H}\) o stopniu co najwyżej \(\displaystyle{ 2n+1}\) takie, że \(\displaystyle{ F(x) \le G(x) \le H(x)}\), (swoją drogą co rozumiemy przez \(\displaystyle{ F(x) \le G(x) \le H(x)}\)?) istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots , x_{n}}\) takich, że \(\displaystyle{ F(x_{i}) = G(x_{i})}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, \ldots, n}\) oraz istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x_{0}}\) spełniająca warunek \(\displaystyle{ F(x_{0}) + H(x_{0}) = 2G(x_{0})}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ F(x) + H(x) = 2G(x)}\).
7. Wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych przyjmuje w pewnych 2 argumentach wartości względnie pierwsze. Wykaż, że istnieje nieskończony podzbiór liczb całkowitych, takich, że \(\displaystyle{ W}\) przyjmuje w tych argumentach wartości parami względnie pierwsze.
8. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a, b)}\) takie, że istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych, że wielomian \(\displaystyle{ (x^{2} + ax + b)W(x)}\) jest postaci \(\displaystyle{ x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}=1}\) lub \(\displaystyle{ a_{i} = -1}\) dla każdego \(\displaystyle{ i = \ldots 0, 1, \ldots, n-1}\).
To ostatnie wygląda szczególnie smakowicie, zatem proszę o wskazóweczki.
Wielomiany 8 zadań
-
- Użytkownik
- Posty: 622
- Rejestracja: 4 mar 2012, o 07:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 86 razy
Wielomiany 8 zadań
Ukryta treść:
Dzieląc przez trójmian kwadratowy uzyszkasz
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
Czyli \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x+3)(x-5)+R(x)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-3)=Q(-3)\cdot 0 +R(-3) =-7\\ W(-3)=Q(5)\cdot 0 +R(5)=1 \end{cases}}\)
z tego
\(\displaystyle{ \begin{cases} R(-3)=a\cdot (-3)+b=-7 \\ R(5)=a\cdot 5 +b = 1 \end{cases}}\)
i masz układ 2 na 2. tym samym rozwiązują go otrzymasz resztę
zad 3 ok
zad 4, nie wyczytywałem sie dokladnie, ale wyglada na to ze jest dobrze
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Wielomiany 8 zadań
No twoja propozycja znacznie krótsza niż moja
Ale teoretycznie nie powinienem umieć rachunku różniczkowego
Ma ktoś jakieś propozycje odnośnie następnych zadań?
Ale teoretycznie nie powinienem umieć rachunku różniczkowego
Ma ktoś jakieś propozycje odnośnie następnych zadań?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wielomiany 8 zadań
Z założenia wynika, że dla \(\displaystyle{ k}\) kolejnych liczb całkowitych mamy \(\displaystyle{ k \mid W(x)}\), ale k kolejnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ \pmod{k}}\) tworzy nam zbiór \(\displaystyle{ \lbrace 0,1,2,3,...,k-1\rbrace}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ W(x) \equiv 0\pmod{k}}\) dla wszystkich argumentów \(\displaystyle{ x\in \lbrace 0,1,2,3,...,k-1\rbrace}\)
(Ponieważ \(\displaystyle{ W(x) \equiv W\left(x \pmod k\right) \pmod{k}}\))
(Ponieważ \(\displaystyle{ W(x) \equiv W\left(x \pmod k\right) \pmod{k}}\))