Wielomiany 8 zadań

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: Ponewor »

W moje ręce trafiło 8 zadanek z wielomianów z dziwnego źródła. Za bardzo pojęcia o wielomianach nie mam dlatego proszę o pomoc. Przy jednym zadaniu zamieszczam zalążek mojego rozwiązania, a przy dwóch innych całe rozwiązania do sprawdzenia. Ostatnie dwa zadanka oznaczone są jako szczególnie harde.

1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W}\) taki, że \(\displaystyle{ W(5) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ W(-3) = -7}\). Wyznacz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ x^{2} - 2x - 15}\).

Wyczuwam tutaj twierdzenie bez "u" i widzę, że resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez dwumiany \(\displaystyle{ x - 5}\) i \(\displaystyle{ x + 3}\) są odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -7}\). Zachowałem też resztki przytomności umysłu i widzę, że \(\displaystyle{ x^{2} - 2x - 15 = (x + 3)*(x - 5)}\). Dalej niestety nie wiem co mam robić.

2. Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) przyjmuje dla \(\displaystyle{ k}\) kolejnych całkowitych argumentów wartości podzielne przez \(\displaystyle{ k}\), to przyjmuje dla całkowitych argumentów tylko wartości podzielne przez \(\displaystyle{ k}\).

3. Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Załóżmy, że wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) oraz \(\displaystyle{ P(P(P(x)))}\) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty. Udowodnij, że mają też wspólny pierwiastek całkowity.

Niech tym pierwiastkiem rzeczywistym będzie liczba \(\displaystyle{ a \in R}\). Mamy wówczas \(\displaystyle{ P(a) = P(P(P(a))) = 0}\). Zatem \(\displaystyle{ P(P(P(a))) = P(P(0)) = 0}\). Czyli pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczba \(\displaystyle{ P(0)}\). Skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma współczynniki całkowite to naprawdę trudno mi sobie wyobrazić by \(\displaystyle{ P(0)}\) nie było liczbą całkowitą. I pokazywanie tego już sobie daruję, bowiem \(\displaystyle{ P(0)}\) jest po prostu równe wyrazowi wolnemu wielomianu \(\displaystyle{ P}\). Zatem wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ P(P(P(x)))}\) mają wspólny pierwiastek całkowity równy \(\displaystyle{ P(0)}\).

4. Wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} + qx + r}\) ma 3 pierwiastki rzeczywiste. Udowodnij, że \(\displaystyle{ p^{2} \ge 3q}\).

Oznaczmy pierwiastki wielomianu jako \(\displaystyle{ a, \ b}\) i \(\displaystyle{ c \in R}\). Zachodzi równość \(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} + qx + r = (x-a) \ast (x-b) \ast (x-c) = x^{3} -(a+b+c) \cdot x^{2} + (ab +ac +bc) \cdot x - abc}\).
Mamy więc \(\displaystyle{ p=-(a+b+c), \ q=ab +ac +bc}\) i \(\displaystyle{ r=-abc}\).
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\substack {a\in R \\ b\in R \\ c\in R}} (a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} - 2ab + a^{2} + c^{2} - 2ac + b^{2} + c^{2} - 2bc \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2} +2b^{2} + 2c^{2} + 4ab + 4ac + 4bc \ge 6ab + 6ac + 6bc}\)
\(\displaystyle{ a^{2} +b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc \ge 3ab + 3ac + 3bc}\)
\(\displaystyle{ [-(a+b+c)]^{2} \ge 3(ab+ac + bc)}\)
\(\displaystyle{ p^{2} \ge 3q}\) co było do udowodnienia.

5. Udowodnij, że jeżeli liczby naturalne \(\displaystyle{ k_{0}, k_{1}, \ldots , k_{n-1}}\) dają różne reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 | x^{k_{0}} + x_{k_{1}} + \ldots + x_{k_{n-1}}}\).
Mam przykre wrażenie, że w tym zadaniu jest błąd w druku.

6. Dane są 3 wielomiany \(\displaystyle{ F, G, H}\) o stopniu co najwyżej \(\displaystyle{ 2n+1}\) takie, że \(\displaystyle{ F(x) \le G(x) \le H(x)}\), (swoją drogą co rozumiemy przez \(\displaystyle{ F(x) \le G(x) \le H(x)}\)?) istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ x_{1}, \ldots , x_{n}}\) takich, że \(\displaystyle{ F(x_{i}) = G(x_{i})}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, \ldots, n}\) oraz istnieje taka liczba \(\displaystyle{ x_{0}}\) spełniająca warunek \(\displaystyle{ F(x_{0}) + H(x_{0}) = 2G(x_{0})}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ F(x) + H(x) = 2G(x)}\).

7. Wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych przyjmuje w pewnych 2 argumentach wartości względnie pierwsze. Wykaż, że istnieje nieskończony podzbiór liczb całkowitych, takich, że \(\displaystyle{ W}\) przyjmuje w tych argumentach wartości parami względnie pierwsze.

8. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a, b)}\) takie, że istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych, że wielomian \(\displaystyle{ (x^{2} + ax + b)W(x)}\) jest postaci \(\displaystyle{ x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}=1}\) lub \(\displaystyle{ a_{i} = -1}\) dla każdego \(\displaystyle{ i = \ldots 0, 1, \ldots, n-1}\).

To ostatnie wygląda szczególnie smakowicie, zatem proszę o wskazóweczki.
leapi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 622
Rejestracja: 4 mar 2012, o 07:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 86 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: leapi »

Ukryta treść:    
zad 1
Dzieląc przez trójmian kwadratowy uzyszkasz
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Czyli \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x+3)(x-5)+R(x)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-3)=Q(-3)\cdot 0 +R(-3) =-7\\ W(-3)=Q(5)\cdot 0 +R(5)=1 \end{cases}}\)

z tego

\(\displaystyle{ \begin{cases} R(-3)=a\cdot (-3)+b=-7 \\ R(5)=a\cdot 5 +b = 1 \end{cases}}\)

i masz układ 2 na 2. tym samym rozwiązują go otrzymasz resztę

zad 3 ok

zad 4, nie wyczytywałem sie dokladnie, ale wyglada na to ze jest dobrze
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: Ponewor »

Zatem wychodzi \(\displaystyle{ R(x)=x-4}\).


Co z pozostałymi zadankami?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: kamil13151 »

4:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: Ponewor »

No twoja propozycja znacznie krótsza niż moja

Ale teoretycznie nie powinienem umieć rachunku różniczkowego

Ma ktoś jakieś propozycje odnośnie następnych zadań?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: Vax »

2:    
5:    
6:    
7:    
8:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: Ponewor »

Vax pisze:
2:    
a to skąd?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Wielomiany 8 zadań

Post autor: Vax »

Z założenia wynika, że dla \(\displaystyle{ k}\) kolejnych liczb całkowitych mamy \(\displaystyle{ k \mid W(x)}\), ale k kolejnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ \pmod{k}}\) tworzy nam zbiór \(\displaystyle{ \lbrace 0,1,2,3,...,k-1\rbrace}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ W(x) \equiv 0\pmod{k}}\) dla wszystkich argumentów \(\displaystyle{ x\in \lbrace 0,1,2,3,...,k-1\rbrace}\)
(Ponieważ \(\displaystyle{ W(x) \equiv W\left(x \pmod k\right) \pmod{k}}\))
ODPOWIEDZ