Uogólniony łańcuch Sturma

[edzia18lesniak]

Uogólnionym Łańcuchem Sturma w przedziale \(\displaystyle{ a \le x \le b}\) nazywamy ciąg wielomianów
\(\displaystyle{ f(x)=f_{0}(x), f_{1}(x),..., f_{m}(x)}\) o następujących własnościach:
1) \(\displaystyle{ f(x)}\) nie ma w tym przedziale pierwiastków wielokrotnych oraz \(\displaystyle{ f(a) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ f(b) \neq 0}\);
2)jeśli \(\displaystyle{ f_{k+1}(x_{0})=0}\), to \(\displaystyle{ f_{k}(x_{0})f_{k+2}(x_{0})<0}\);
3)jeśli \(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), to \(\displaystyle{ f_{1}(x_{0})f'(x_{0})>0}\);
4) \(\displaystyle{ f_{m}(x) \neq 0}\) w całym przedziale.

Zadanie 1.
Dowieść,że wielomian Legendre'a
\(\displaystyle{ f_{0}(x)=P_{m}(x), f_{1}(x)=P_{m-1}(x), ... , f_{m-1}(x)=P_{1}(x), f_{m}(x)=1}\) gdzie
\(\displaystyle{ P_{n}(x)= \frac{1}{2 ^{n}n! } \cdot \frac{d ^{n}(x ^{2}-1) ^{2}}{d x ^{n} }}\)
tworzy uogólniony łańcuch Sturma i że między dwoma pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ P_{m}(x)}\) leży dokładnie jeden pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ P_{m-1}(x)}\).

Zadanie 2.
Dowieść, że ciąg \(\displaystyle{ f, f', -x_{n}}\) jest uogólnionym łańcuchem Sturma dla wielomianu
\(\displaystyle{ f(x)= 1+ \frac{x}{1!}+ \frac{x^{2}}{2!}+...+ \frac{x^{n}}{n!}}\)
w każdym przedziale \(\displaystyle{ a \le x \le b}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b<0}\). Obliczyć ilość pierwiastków rzeczywistych równania f(x)=0.